Problème "n puissant" (spécialité bac 2018)

nounou1
nounou1
dans Arithmétique
Bonjour, j'ai un souci avec la notion de "n puissant" définie dans le sujet du bac 2018: Un naturel n est dit puissant si pour tout diviseur premier p de n, p^2 divise n. Mon prof m'a dit que 1 était un nombre puissant, mais niveau tale cela me paraît difficile. Je ne comprends pas.
Je pose cette question car ensuite dans l'énoncé on dit que si n=a^2b^3 alors n est puissant. Mais si a=b=1 ?

Réponses

  • gai requin
    gai requin
    Est-ce qu'il existe un premier $p$ tel que $p$ divise $1$ et $p^2$ ne divise pas $1$ ?
  • nounou1
    nounou1
    Ah on prend le contraire.
    Mais alors il faut envisager 2 cas pour prouver que si n=a^2b^3 alors n est puissant? n=1 et n distinct de 1? Je ne pouvais pas y penser
  • gai requin
    gai requin
    Pas besoin de séparer les cas.
    Quand on veut montrer une implication $A\Rightarrow B$, on se moque de savoir si $A$ est vraie ou fausse.
    Exercice : Montrer que si $0=1$, alors $3$ divise $1$.

    Dans ton exercice, on peut donc partir de $p$ premier qui divise $n$ même s'il n'existe pas de tel $p$ quand $n=1$...
  • nounou1
    nounou1
    Oui mais l implication commence par "si n=a^2b^3" et non "si p divise n"
  • gai requin
    gai requin
    Non.
    Il s'agissait en fait de montrer que, pour tous $a,b$ entiers naturels, $n=a^2b^3$ est puissant.
    Pour cela, on considère donc $p$ premier (qu'il existe ou non) divisant un tel $n$ et on doit montrer que $p^2$ divise $n$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Non, tu te trompes d'implication. Il s'agit de l'implication contenue dans la définition de "$n$ est un entier puissant" :
    Pour tout nombre premier $p$, si $p$ divise $n$ alors $p^2$ divise $n^2$.
    La démonstration de "Pour tout entier naturel $a$, pour tout entier naturel $b$, $a^2b^3$ est un entier puissant" est la démonstration de :
    Pour tout entier naturel $a$, pour tout entier naturel $b$, pour tout nombre premier $p$, si $p$ divise $a^2b^3$ alors $p^2$ divise $a^2b^3$.
  • nounou1
    nounou1
    Merci
    Jamais je n aurais pu faire ça hier. C'est quel niveau?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ça demande juste de savoir que si $p$ est un nombre premier qui divise $a^2b^3$, alors $p$ divise $a$ ou $p$ divise $b$. Dans les deux cas, $p^2$ divise $a^2b^3$.
  • gerard0
    gerard0
    Niveau terminale scientifique.
    En lycée, on apprend (si on est très sérieux en cours de maths) à démontrer une implication (si .. alors ..) en supposant l'hypothèse et en en déduisant progressivement la conclusion. Tous les profs l'expliquent et le réexpliquent.
    Donc il suffisait de décoder la question, pour savoir ce qu'elle signifie (exercice de compréhension), puis de supposer qu'on a un p qui divise $a^2b^3$.

    Cordialement.
  • gai requin
    gai requin
    C'est du niveau de la spécialité maths en TS parce que, si tu regardes ton cours d'arithmétique, tu remarqueras que la plupart des énoncés mettent en jeu des lettres (en fait des variables) et ton prof a dû les démontrer.

    Exemple du cours que je rédige à la façon de cette question de bac :
    Corollaire du théorème de Gauss :
    Soit $a,b$ des entiers et $p$ un nombre premier.
    Si $p$ divise $ab$, alors $p$ divise $a$ ou $p$ divise $b$.
  • Audeo
    Audeo
    @gerard0, visiblement pas si évident comme on peut le voir ici avec un professionnel à l'oeuvre...
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Professionnelle qui a quelques problèmes avec la quantification universelle (et accessoirement avec le fait que $1$ est un entier naturel). :-D
  • nounou1
    nounou1
    J ai trouvé sur internet la définition d un nombre puissant :0 est exclu et pas dans la définition du sujet de bac. Donc on pouvait dire que 0 et 1 sont deux nombres consécutifs puissants. C est curieux que
    on nous ait demandé deux nombres puissants inferieurs à 10?? Pourquoi pas 8?
  • gai requin
    gai requin
    On a dû se dire que certains ne verraient pas que $1$ est un nombre puissant. ;-)
  • CyD
    CyD
    Bonjour à tous,

    je ne veux pas mettre la grouille, mais d'après la définition, je ne comprends pas que le chiffre 1 soit puissant, car 1 n'est pas un nombre premier. Donc, d'après la définition, 1 ne devrait pas être considéré comme un nombre puissant (même s'il y ressemble beaucoup).

    Me gourès-je ? :)


    Cordialement,
    CyD
  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Bonjour,
    Si $1$ n’est pas puissant, il existe un nombre premier qui divise $1$ ...
  • Inversion
    Inversion
    Bonjour,

    Si j'ai bien compris (...), $1$ est un nombre puissant pour cette simple raison : $1$ n'a aucun diviseur premier. Dès lors, la définition d'un nombre puissant est immédiatement vérifiée, puisque $1$ n'a aucun diviseur premier, sa valuation $p$-adique pour chaque $p$ premier qui le diviserait serait supérieure ou égale à $2$, non ?

    EDIT : je me suis fait devancer :)

    Cordialement,

    Inversion
  • df
    df
    Bonjour, le site "images des maths" en parle: "Nombres puissants au BAC S"

    Je suis sûr que les bacheliers S sont pleins de reconnaissance pour Paul Erdös...

    http://images.math.cnrs.fr/Nombres-puissants-au-bac-S.html

    Je rajoute l'énoncé officiel (disponible également sur la page du site):

    http://images.math.cnrs.fr/IMG/pdf/s-mathematiques-specialite-2018-metropole-sujet-officiel.pdf

    L'épreuve intitulée: "Une propriété des tétraèdres orthocentriques" m'a l'air d'un bon niveau... surtout pour un système éducatif supposé avoir complètement abandonné la géométrie.

    ...
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