Nombres 3-friables

Je connais la définition, mais je voulais être sûr que l'on parlait bien des mêmes : un entier $n$ est dit $y$-friable, resp. $y$-criblé, si $P(n) \leqslant y$, resp. $p(n) > y$, où $P(n)$, resp. $p(n)$, désigne le plus grand, resp. petit, facteur premier de $n$, avec les conventions usuelles si $n=1$.

C'est Ramanujan qui le premier semble s'être intéressé sérieusement à ces entiers (3-friables) et a inspiré la formule asymptotique

$$u_{n}\sim\frac{1}{\sqrt{6}}\exp\left(\sqrt{2\log(2)\log(3)n}\right)\,\left(n\rightarrow\infty\right)$$

que Cidrolin a rappelée. C'est plus fort que ce qui est demandé car on en déduit un équivalent pour $\log(u_n)$.

Si cette assertion est vraie:

"Soit deux suites strictement croissance $u(n)$ et $v(n)$ satisfaisant
\begin{align*}
\left|\left\{ k\in\mathbb{N},\ u(k)\leq n\right\} \right|&=a\log(n)^{2}+b\log(n)+o(\log(n))\\
\left|\left\{ k\in\mathbb{N},\ v(k)\leq n\right\} \right|&=a\log(n)^{2}+b\log(n)+o(\log(n))
\end{align*} Alors on a $\quad\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{u(n)}{v(n)}=1,\quad $ dès que $a>0$ et $b$ est un réel quelconque."

Alors la formule du haut pour $u(n)$ est vraie moyennant la connaissance du résultat de Hardy : $$
\left|\left\{ k\in\mathbb{N},\ u(k)\leq n\right\} \right|=\frac{1}{2\log(2)\log(3)}\log(2n)\log(3n)+o(\log(n))
$$ En effet en notant $v(n)=\frac{1}{\sqrt{6}}\exp\left(\sqrt{2\log(2)\log(3)n}\right)$ il est "facile" de voir qu'on a $$
\left|\left\{ k\in\mathbb{N},\ v(k)\leq n\right\} \right|=\frac{1}{2\log(2)\log(3)}\log(2n)\log(3n)+O(1)$$

Je termine mon monologue avec cette dernière intervention sur ce forum. En continuant ainsi l'assertion du haut devient plus explicite. Si $v$ est une suite strictement croissante vérifiant $$
\left|\left\{ k\in\mathbb{N},\ v(k)\leq n\right\} \right|=a\log(n)^{2}+b\log(n)+o(\log(n))$$ avec $a>0$ alors on a $$
v(n)\sim\exp\left(\sqrt{\frac{n}{a}}-\frac{b}{2a}\right)\ \left(n\rightarrow\infty\right)
$$ La formule asymptotique pour la suite $u$ s'en suit avec $a=\dfrac{1}{2\log(2)\log(3)}$ et $b=\dfrac{\log(2)+\log(3)}{2\log(2)\log(3)}$.