Avis sur une démonstration
Bonjour, je sollicite votre avis sur la démonstration suivante, qui est mon travail et qui ne correspond pas à la correction que j'ai pu trouver. Il s'agit de montrer que si $p$ est premier, alors $\sqrt{p}$ est irrationnel. Voilà comment j'ai procédé :
Supposons par l'absurde que $\sqrt{p}$ est rationnel. On peut donc écrire $\sqrt{p} = \frac{a}{b}$. Il vient ensuite $b^2p=a^2$, et donc la puissance de $p$ dans la décomposition en facteurs premiers dans le membre de gauche est impaire, tandis qu'elle est paire dans le membre de droite : contradiction.
Est-ce plus élégant que d'utiliser le lemme de Gauß en supposant $a$ et $b$ premiers entre eux? Cela utilise moins d'hypothèse. D'un autre coté, la décomposition en facteurs premiers est un "gros" théorème. Bref, je trouvais cette idée sympa et plus naturelle.
Merci pour vos retours.
Supposons par l'absurde que $\sqrt{p}$ est rationnel. On peut donc écrire $\sqrt{p} = \frac{a}{b}$. Il vient ensuite $b^2p=a^2$, et donc la puissance de $p$ dans la décomposition en facteurs premiers dans le membre de gauche est impaire, tandis qu'elle est paire dans le membre de droite : contradiction.
Est-ce plus élégant que d'utiliser le lemme de Gauß en supposant $a$ et $b$ premiers entre eux? Cela utilise moins d'hypothèse. D'un autre coté, la décomposition en facteurs premiers est un "gros" théorème. Bref, je trouvais cette idée sympa et plus naturelle.
Merci pour vos retours.
Réponses
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La partie non triviale du théorème de factorisation, c'est l'unicité. La clés, c'est que si on se donne deux factorisations et si $p$ apparaît dans l'une des deux, alors il apparaît dans l'autre : c'est précisément ce que donne le lemme de Gauss. Le reste est un jeu formel un peu pénible à mettre en place (beaucoup de notations, une récurrence) mais c'est naturel.
Bref : pour moi, le lemme de Gauss est la clé des deux preuves que tu présentes. Comme tu utilises un énoncé plus sophistiqué que la preuve « standard », la présentation est plus agréable. -
Pour ceux qui n'aiment pas les négations, on peut montrer sans raisonner par l'absurde que pour tout $n\in\mathbb N$, $$\sqrt{n}\in\mathbb Q\Leftrightarrow n\text{ est le carré d'un entier}.$$
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Bonjour,
Comment gai requin ?
Merci d'avance
Inversion -
Ce n'est pas très difficile donc je te laisse un peu chercher. ;-)
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D'accord merci !
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Un pas de plus :-)
On suppose p et q premiers entre eux, q $\neq $ 0.
$$\sqrt [\LARGE n]{\frac {p}{q}} \in \mathbb Q \Leftrightarrow \text { p et q sont des puissances n-ièmes d'entiers} $$ -
Merci pour vos retours et vos idées d'autres démonstrations.
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Bonjour!
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