Il y en a ou pas ?

On multiplie par $4mn$ pour faire disparaître les dénominateurs, cela nous donne $4n+4m-\frac{4}{n}=3mn$ puis $4n+4m-3mn=\frac{4}{n}$. La quantité de gauche est un entier, pour que celle de droite le soit il faut que $n \in \{1,2,4, -1, -2, -4\}$.

Cas $n=1$, on obtient $4+4m-3m=4$ ce qui nous donnerait $m=0$, impossible.

Cas $n=2$, on obtient $8+4m-6m=2$, soit $6=2m$ et $m=3$. Ce couple de solutions convient.

Cas $n=4$, on obtient $16+4m-12m=1$, soit $15=8m$ qui n'a pas de solution entière.

Cas $n=-1$, on obtient $-4+4m+3m=-4$ et $m=0$, impossible.

Cas $n=-2$, on obtient $-8+4m+6m=-2$, soit $10m=6$, pas de solution entière.

Cas $n=-4$, on obtient $-16+4m+12m=-1$, soit $16m=15$, pas de solution entière.

Le couple $(3, 2)$ est donc la seule solution.

Dans ce qui suit $m,n$ sont des entiers naturels non nuls.

$\displaystyle \frac{1}{m} + \frac{1}{n} - \frac{1}{mn^2} = \frac{3}{4}$

Est équivalente à :

$\displaystyle \frac{1}{m} + \frac{1}{n}= \frac{3}{4}+\frac{1}{mn^2}$

Or,

$\displaystyle \frac{3}{4}+\frac{1}{mn^2}>\frac{3}{4}$

Donc,

$\displaystyle \frac{1}{m} + \frac{1}{n}>\frac{3}{4}$

Après on peut supposer que 1)$m\geq n$ ou 2)$m< n$

Ce qui permet de réduire drastiquement les candidats potentiels pour m,n me semble-t-il.

Chaurien:
Equation diophantienne, équation dont on cherche des solutions en nombres entiers.

PS:
Pour terminer le raisonnement:

Cas 1) $m\geq n$ .
On a donc:
$\displaystyle \frac{1}{m}\leq \frac{1}{n}$ et $\displaystyle \frac{1}{n}\leq \frac{1}{n}$

Donc,
$\displaystyle \frac{2}{n} \geq \frac{1}{m} + \frac{1}{n}>\frac{3}{4}$

Donc,
$\displaystyle \frac{2}{n} >\frac{3}{4}$

Ainsi,

$\displaystyle n <\frac{8}{3}$

Donc $n$ ne peut être égal qu'à $1$ ou $2$.

Si $n=1$ alors,

$\displaystyle \dfrac{1}{m}+1-\dfrac{1}{m}=\dfrac{3}{4}$
qui est équivalente à $1=\frac{3}{4}$ ce qui est absurde.

Si $n=2$ alors,

$\displaystyle \dfrac{3}{4m}=\frac{1}{4}$

et donc $m=3$.

Cas 2) $m<n$.
On montre de même que dans le cas 1) que $m$ ne peut être égal qu'à $1$ ou $2$.

Si $m=1$ alors,

$\displaystyle 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} = \frac{3}{4}$

qui est équivalent à ,

$\displaystyle \frac{n-1}{n^2} = -\frac{1}{4}$

Cette égalité est absurde puisque la quantité dans le membre de gauche est positive ( $n\geq 1$ )

Si $m=2$ alors,

$\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2} = \frac{3}{4}$

Sauf erreur, cette équation est équivalente à,

$n(4-n)=2$

qui n'a pas de solution dans l'ensemble des entiers naturels.

$n$ devrait être égal à $1$ ou $2$ (2 est divisible que par 1 ou par 2).
Si $n=1$ alors $4-n=2$ et donc $n=2$ ce qui est absurde.
Si $n=2$ alors $4-n=1$ et donc $n=3$ ce qui est absurde.

En conclusion, le seul couple candidat à être solution de l'équation proposée est $(m,n)=(3,2)$ et on peut vérifier qu'il est bien solution.

@soland : tu es sûr que c'est toujours les entiers naturels ?

Moi je pense que « équation diophantienne » peut se comprendre : dans $\mathbb N$, ou bien dans $\mathbb Z$, ou même dans $\mathbb Q$.
Pensez à la belle équation dans $\mathbb Q_+^*$ : $x^y=y^x$.