Fonction de comptage des nombres premiers
dans Arithmétique
Bonsoir,
Soit $\pi(n)$ le nombre de premiers inférieurs à $n$.
Auriez-vous une preuve "relativement élémentaire" du fait que $\frac{\pi(n)}{n}$ tend vers $0$?
Par "relativement élémentaire", j'entends: qui ne fait appel ni au théorème des nombres premiers, ni aux inégalités de Tchebychev.
Merci d'avance.
Soit $\pi(n)$ le nombre de premiers inférieurs à $n$.
Auriez-vous une preuve "relativement élémentaire" du fait que $\frac{\pi(n)}{n}$ tend vers $0$?
Par "relativement élémentaire", j'entends: qui ne fait appel ni au théorème des nombres premiers, ni aux inégalités de Tchebychev.
Merci d'avance.
Réponses
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Oui, avec le principe d'inclusion-exclusion.
Voir (par exemple) le livre de O. Bordellès, Thèmes d'arithmétique, Ellipses, 2006, pages 75-76.
Evidemment, la borne obtenue est inférieure aux inégalités de Tchebitchef, mais répond à ta question. -
Merci, je verrai ce que suggère ladite référence quand je l'aurai sous la main.
J'ai tout de même déniché une démonstration à la page sept de ce polycopié (théorème $6$). -
Comme le dit Clark juste après la fin de cette preuve, celle que je te donne montre élémentairement que $\pi(n) \leqslant \dfrac{n}{\log \log n}$ pour $n \geqslant 7$, disons.
C'est un peu moins alambiqué que sa démonstration. Cependant, celle-ci a le mérite d'utiliser le nombre $N_k := p_1 \dotsb p_k$ très utile dans l'étude des petites valeurs de la fonction $\varphi$ d'Euler, comme l'a montré Nicolas en 1983. En particulier, si l'Hypothèse de Riemann est vraie, alors, pour tout $k \in \mathbb{Z}_{\geqslant 2}$, on a $\dfrac{\varphi(N_k)}{N_k} < \dfrac{e^{-\gamma}}{\log \log N_k}$. -
Merci, c'est très instructif.
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