Fonction de comptage des nombres premiers

Oui, avec le principe d'inclusion-exclusion.

Voir (par exemple) le livre de O. Bordellès, Thèmes d'arithmétique, Ellipses, 2006, pages 75-76.

Evidemment, la borne obtenue est inférieure aux inégalités de Tchebitchef, mais répond à ta question.

Comme le dit Clark juste après la fin de cette preuve, celle que je te donne montre élémentairement que $\pi(n) \leqslant \dfrac{n}{\log \log n}$ pour $n \geqslant 7$, disons.

C'est un peu moins alambiqué que sa démonstration. Cependant, celle-ci a le mérite d'utiliser le nombre $N_k := p_1 \dotsb p_k$ très utile dans l'étude des petites valeurs de la fonction $\varphi$ d'Euler, comme l'a montré Nicolas en 1983. En particulier, si l'Hypothèse de Riemann est vraie, alors, pour tout $k \in \mathbb{Z}_{\geqslant 2}$, on a $\dfrac{\varphi(N_k)}{N_k} < \dfrac{e^{-\gamma}}{\log \log N_k}$.