Demande d'explication

Renseigne-toi plus généralement sur les divers énoncés d'approximation diophantienne usuel, dont le théorème de Liouville est l'un des premiers : tu peux regarder du côté du théorème de Dirichlet et du théorème de Roth notamment. Ce qui compte c'est la "vitesse" à laquelle on peut approcher le nombre par des rationnels, quantifiée par la taille du dénominateur du rationnel en question.

La phrase (vague) qui est écrite dans le premier message marche aussi pour l'approximation d'un rationnel par des rationnels (évidemment on exclut l'approximation d'un rationnel par lui-même)

$a,b,p,q$ des entiers naturels avec $b,q$ non nuls et $aq-bp\neq 0$ (ce qui signifie que $\dfrac{a}{b}\neq \dfrac{p}{q}$)

on a,

$\displaystyle \left |\frac{a}{b}-\frac{p}{q}\right |=\left |\frac{aq-bp}{bq}\right |\geq \frac{1}{bq}$

Ce qui veut dire que si on cherche à approximer un rationnel $r\geq 0$ ,

Il existe $C>0$, tel que pour tout $p,q$ entiers naturels avec $q$ non nul et $\dfrac{p}{q}\neq r$,

$\displaystyle \left |r-\frac{p}{q}\right | \geq \frac{C}{q}$

(La constante $C$ ne dépend que de $r$)

PS:
Une propriété qui sert bien:

Le plus petit entier naturel non nul est 1.

PS2:
L'inégalité ci-dessus est le cas le plus simple des inégalités de Liouville qui lui ont permis de montrer qu'une infinité de nombres réels (qu'il décrit, ce sont des nombres définis par une série)