Une fonction constante

Cidrolin
Cidrolin
dans Arithmétique
Soit $n \geq 2$ un entier, on pose :

$A(n)=\{ k \in \N^*; \{ \frac nk \}<\frac 13 \}\quad $, par exemple $1515 \in A(10)$;
$B(n)=\{ k \in \N^*; \frac13 \leq \{ \frac nk \}<\frac 23 \} \quad $, par exemple $10 \in B(4)$;
$C(n)=\{ k \in \N^*; \frac23 \leq \{ \frac nk \} \} \quad$, par exemple $3 \in C(2)$.

et enfin soit $f$ définie par $f(n)= \displaystyle \sum _{k \in B(n)} \mu(k) +2 \sum _{k \in C(n)} \mu(k)$.

Montrer que $f$ est constante.


$\{ \frac nk \}$ désigne la partie fractionnaire de $ \frac nk $ et $\mu$ la fonction de Möbius.


EDIT: correction faite, merci Jandri.

Réponses

  • jandri
    jandri
    Merci pour cette énigme.

    Avec Maple j'ai vérifié que c'est vrai au moins jusqu'à 1000 mais je n'ai pas encore de démonstration.
  • noix de totos
    noix de totos
    En vertu de $\left \lfloor 3x \right \rfloor - 3 \lfloor x \rfloor = \begin{cases} 0, & \textrm{si} \ \{x\} < \frac{1}{3} \\ & \\ 1, & \textrm{si} \ \frac{1}{3} \leqslant \{x\} < \frac{2}{3} \\ & \\ 2, & \textrm{si} \ \{x\} \geqslant \frac{2}{3} \end{cases}$, on a
    $$f(n) = \sum_{k=1}^{3n} \mu(k) \left( \left \lfloor \frac{3n}{k} \right \rfloor -3 \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor \right) = \sum_{k=1}^{3n} \mu(k) \left \lfloor \frac{3n}{k} \right \rfloor -3 \sum_{k=1}^n \mu(k) \left \lfloor \frac{n}{k} \right \rfloor = 1 - 3 = -2.$$
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Bravo noix de totos !
    J'utilise la propriété : $\displaystyle \sum_{k=1}^n f \star 1(k)= \sum_{k=1}^n (\sum_{d|k} f(d))=\sum _{d=1}^n f(d) \lfloor \frac nd \rfloor$

    Si $f=\mu$, on trouve $\displaystyle \sum _{k=1}^n \mu (k) \lfloor \frac nk \rfloor= \sum_{k=1}^n e(k)=1+0+0+\cdots+0=1$
  • Cidrolin
    Cidrolin
    1) Si $f=\varphi$, on trouve $\displaystyle \sum _{k=1}^n \varphi (k) \lfloor \frac nk \rfloor= \sum_{k=1}^n k=\dfrac {k(k+1)}2$.

    On a $\displaystyle \sum _{k \in B(n)} \varphi(k) +2 \sum _{k \in C(n)} \varphi(k)=\dfrac{3n(3n+1)}{2}-3\dfrac{n(n+1)}2=3n^2$


    2) Si $f=J_2$, le deuxième totient de Jordan,

    $\displaystyle \sum _{k \in B(n)} J_2(k) +2 \sum _{k \in C(n)} J_2(k)=\dfrac{3n(3n+1)(6n+1)}{6}-3\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6=8n^3+3n^2$
  • noix de totos
    noix de totos
    Ce sont ce que l'on appelle des identités de convolutions. Voici d'autres exemples :

    \begin{eqnarray*}
    \sum_{n \leqslant \sqrt x} M \left( \frac{x}{n^2} \right) &=& \sum_{n \leqslant x} \lambda(n). \\
    \sum_{n \leqslant x} n M \left( \frac{x}{n} \right) &=& \sum_{n \leqslant x} \varphi(n).
    \end{eqnarray*}

    Comme d'habitude, $M(x) := \sum_{n \leqslant x} \mu(n)$ est la fonction de Mertens et $\lambda := (-1)^{\Omega}$ est la fonction de Liouville.

    La liste ci-dessus n'est bien sûr pas exhaustive.
  • jandri
    jandri
    C'est joli et simple une fois qu'on a l'idée de la démonstration!
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Merci.

    Pour ce problème, j'ai modifié (un peu) la question de D. Knuth : E3106 du numéro d'avril 1987 de l'amm page 795.77772
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Si $\Lambda$ désigne la fonction de von Mangoldt, on doit avoir :


    $\displaystyle \sum _{k \in B(n)} \Lambda(k) +2 \sum _{k \in C(n)} \Lambda(k)=\ln \binom {3n}{n,n,n} \quad$ où $ \displaystyle \binom {3n}{n,n,n}=\dfrac{(3n)!}{(n!)^3}$, voir la suite A006480.
  • noix de totos
    noix de totos
    À chaque fois que la transformée d'Ératosthène $f$ d'une fonction arithmétique $F$ est simple d'aspect, tu auras une identité simple, via ta formule ci-dessus
    $$\sum_{\substack{k \\ 1/3 \leqslant \{n/k\} < 2/3}} f(k) + 2 \sum_{\substack{k \\ \{n/k\} \geqslant 2/3}} f(k) = G(3n)-3G(n)$$
    où $G$ désigne la fonction sommatoire de $F$.

    Ici, tu as utilisé les couples $(f,F) = (\mu, \delta)$, $(\varphi, \textrm{Id})$, $(J_2,\textrm{Id}^2)$ (tu aurais pu prendre plus généralement $(J_k,\textrm{Id}^k)$ puis la formule de Faulhaber) et $(\Lambda,\log)$ (tu aurais pu prendre plus généralement $(\Lambda_k,\log^k)$).

    Tu as aussi par exemple $(f,F) = (\tau_{k-1},\tau_k)$, $\left( \mu^2, 2^{\omega} \right)$ et plus généralement $(\mu^2 k^{\omega},(k+1)^\omega)$, $\left( \textrm{Id}^k,\sigma_k \right)$, $(s_2,\beta)$ où $s_2$ est la fonction indicatrice des entiers $2$-pleins ("puissants", comme il disent dans le dernier bac S 2018) et $\beta(n)$ désigne le nombre de diviseurs $2$-pleins de $n$, etc. Le problème est qu'ici les fonctions sommatoires des $F$ proposées sont rarement des "formules closes"...Pas grave : tu te contenteras de prendre des égalités asymptotiques.
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Un grand merci noix de totos. Comme d'habitude, je crois découvrir un petit quelque chose et hop : c'est déjà trouvé, étudié et nommé. Je suis victime du plagiat par anticipation des oulipiens.
  • noix de totos
    noix de totos
    À ma connaissance, cette identité que tu as énoncée ici n'est apparue que dans le Monthly que tu as cité plus haut dans l'exo proposé par Knuth.

    Maintenant, une généralisation sous la forme suivante :

    Proposition. Soient $a \in \mathbb{Z}_{\geqslant 2}$ et $(f,F)$ un couple de fonctions arithmétiques telles que $F = f \star \mathbf{1}$. Si $G$ est la fonction sommatoire de $F$, on a pour tout $n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$
    $$\sum_{j=1}^{a-1} j \sum_{\substack{k \\ j/a \leqslant \left \{ n/k \right \} < (j+1)/a}} f(k) = G(an) - a G(n)$$

    n'a fait l'objet d'aucune publication (sauf erreur).
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Oui, c'est une belle généralisation! Pour $\varphi$ on trouve un triangulaire fois un carré: $\dfrac{a(a-1)}2 n^2$.
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Fixons $f$ et $a=4$, et posons $S_j=\displaystyle \sum_{\substack{k \\ j/4 \leqslant \left \{ n/k \right \} < (j+1)/4}} f(k) $

    On sait que :
    $S_1+2S_2+3S_3=G(4n)-4G(n)$ (*) et que : $S_2+S_3=G(2n)-2G(n)$(**)

    En faisant (*)-3(**), il vient :

    $S_1-S_2=G(4n)-3G(2n)+2G(n)$(***)

    En particulier si $f=\mu$, on trouve que $S_1=S_2$, puisque le deuxième membre de (***) vaut :$1-3+2=0$, donc on a :
    $$\displaystyle \sum_{\substack{k \\ 1/4 \leqslant \left \{ n/k \right \} < 1/2}} \mu (k) =\sum_{\substack{k \\ 1/2 \leqslant \left \{ n/k \right \} < 3/4}} \mu (k) $$
  • noix de totos
    noix de totos
    Voilà ! Tu trouves des idées à partir de la formule ci-dessus. C'est bien !

    Un autre exemple issu du problème des diviseurs de Dirichlet (avec le meilleur reste connu actuellement). Avec $f = \mathbf{1}$, on obtient pour $a \in \mathbb{Z}_{\geqslant 2}$ et $\varepsilon \in \left]0,1 \right[$ fixés :

    $$\sum_{j=1}^{a-1} j \sum_{\substack{k \\ j/a \leqslant \{n/k\} < (j+1)/a}} 1 = an \log a + O \left( (an)^{ 517/1648+ \varepsilon} \right).$$
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