Équation diophantienne $a^2+7b^2=2^p$

C'est dans l'anneau des entiers de $\Q(\sqrt{-7})$, à savoir $A=\Z\bigl[\frac{1+\sqrt{-7}}{2}\bigr]$, qu'il est commode de regarder les choses, même si on cherche les solutions dans $B=\Z[\sqrt{-7}]$. Les éléments de $A$ sont de la forme $z=\frac{x+y\sqrt{-7}}2$ avec $x$ et $y$ entiers de même parité. Les éléments de $B$ correspondent aux $x$ et $y$ pairs. Pour $z=\frac{x+y\sqrt{-7}}2\in A$, on note $\bar{z}=\frac{x-y\sqrt{-7}}2$. Bien sûr, $z\bar z=\frac{x^2+7y^2}4$. Dans $A$, l'équation se récrit : \[z\bar z=\frac{x+y\sqrt{-7}}{2}\times\frac{x-y\sqrt{-7}}{2}=\Bigl(\frac{1+\sqrt{-7}}2\Bigr)^p\Bigl(\frac{1-\sqrt{-7}}2\Bigr)^p.\]
Le point clé, c'est que l'anneau $A$ est factoriel et que $u=\frac{1+\sqrt{-7}}2$ et $\bar u=\frac{1-\sqrt{-7}}{2}$ sont premiers et non associés (premiers entre eux). L'équation $z\bar z=2^p=u^p\bar u^p$ a donc pour solutions dans $A$ les $\pm u^k\bar{u}^{p-k}$ pour $0\le k\le p$. Il se trouve que cet élément est dans $B$ exactement lorsque $1\le k\le p-1$ (si $p\ge1$).

Bilan : pour $\ge1$, les solutions $(a,b)$ de $a^2+7b^2=2^p$ correspondent aux éléments $a+b\sqrt{-7}$ de la forme $\pm(1+\sqrt{-7})^k(1-\sqrt{-7})^{p-k}$ pour $1\le k\le p-1$. Il y en a bien $2(p-1)$.

Exemple : $p=5\newcommand{\r}{\sqrt{-7}}$. \[\begin{array}{c|cccc}k&1&2&3&4\\\hline
u^k\bar{u}^{5-k}&-5+\r&2-2\r&2+2\r&-5-\r\\
(a,b)&\pm(-5,1)&\pm(2,-2)&\pm(2,2)&\pm(-5,-1)
\end{array}\]

PS : $p=9$ : \[\begin{array}{c|cccc}k&1&2&3&4&5&6&7&8\\\hline
u^k\bar{u}^{9-k}&-13-7\r&22+2\r&-20+4\r&8-8\r&8+8\r&-20-4\r&22-2\r&-13+7\\
(a,b)&\pm(-13, -7)&\pm(22, 2)&\pm(-20, 4)&\pm(8, -8)&\pm(8, 8)&\pm(-20, -4)&\pm(22, -2)&\pm(-13, 7)
\end{array}\]
$p=10$ (en notant $r=\sqrt{-7}$ pour gagner un peu de place) : \[\begin{array}{c|cccc}k&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\\hline
u^k\bar{u}^{9-k}&-31+3r&18-10r&4+12r&-24-8r&32+0r&-24+8r&4-12r&18+10r&-31-3r\\
(a,b)&\pm(-31, 3)&\pm(18, -10)&\pm(4, 12)&\pm(-24, -8)&\pm(32, 0)&\pm(-24, 8)&\pm(4, -12)&\pm(18, 10)&\pm(-31, -3)
\end{array}\]

La ramification du nombre premier $p$ dans le corps de nombres quadratiques $\mathbb Q(\sqrt d)$ ($d$ sans facteur carré) est bien connue et dépend du symbole de Jacobi $\left( \frac{\Delta}{p} \right)$, où $\Delta$ est le discriminant de ce même corps de nombres, qui vaut $d$ si $d= 1 \pmod 4$ et $4d$ sinon.

Je ne sais pas trop ce que tu veux faire comme calcul mais le $\chi_3$ du tableau de wiki joue un rôle dans une histoire. Expliques ce que tu veux faire comme calcul, on pourra peut être t'aider !

Est-ce que tu veux une certaine série a la fin de ton calcul ? j'ai trouvé celle-là, y'a un rapport ?

[1/2 + q + 2*q^2 + 3*q^4 + q^7 + 4*q^8 + q^9 + 2*q^11 + 2*q^14 + 5*q^16 + 2*q^18 + 4*q^22 + 2*q^23 + q^25 + 3*q^28 + 2*q^29]

Salut Math Coss,

Faut faire attention a ce que l'on compte. J'ai fais au plus simple sans trop trop réfléchir :

Celle que je donne compte les nombres d'idéaux de norme $n$ de l'anneau $\Z \left[ (1+\sqrt{-7})/2 \right]$ et si on compte les solutions pour $a^2+ab+2b^2 = n$ il suffit de multiplier par $2$ car l'anneau $\Z \left[ 1+\sqrt{-7}/2 \right]$ est principal et qu'il y a deux unités. (le premier terme $1/2$ faut le laisser tomber). Du coup, je suis un peu hors sujet :-D

Tu as compté les solutions de $a^2+7b^2 =n$ ?

Je pense que je l'ai trouvé :-D

Je pose $\eta^\star = \prod_{n>0}(1-q^{n})$ Et je calcule
$$
\frac{\eta^\star (q^2)^5 \times \eta^\star (q^{14})^5}{\left( \eta^\star (q) \times \eta^\star (q^4) \times \eta^\star (q^7) \times \eta^\star (q^{28}) \right)^{2}}
$$

sage: f = qexp_eta(PSR,50)  <---- c'est eta^\star et pas la vrai eta !!! 
sage: G =  f(q^2)^5/(f(q)^2*f(q^4)^2)*f(q^14)^5/(f(q^7)^2*f(q^28)^2)
sage: g   <---- Celle de MC 
2*q + 2*q^4 + 2*q^7 + 4*q^8 + 2*q^9 + 4*q^11 + 6*q^16 + 4*q^23 + 2*q^25 + 2*q^28 + 4*q^29
sage: G-g
1 + 8*q^32 + 2*q^36 + 4*q^37 + 4*q^43 + 4*q^44 + 2*q^49 + O(q^50)

Sorry !

En fait, j'ai juste fait le rigolo mais ce n'est pas compliqué, j'ai juste utilisé une formule : c'est le lien entre la série théta et la série $\eta$.
La série $\theta := \sum_{n \in \Z} q^{n^2}$. Et donc ici ce que j'ai fais c'est simplement :
$$
\theta(q) \times \theta(q^7)
$$
Normalement là y'a pas de doute que ça donne ce qu'on veut. Et ensuite, j'ai simplement exprimé $\theta$ en fonction de $\eta$, histoire d'avoir une formule un peu rigolote :-D
Et donc l'identité c'est :
$$
\theta(q) = \frac{\eta^{\star}(q^2)^5}{\eta^\star(q)^2 \times \eta^\star(q^4)^2} \qquad (\star)
$$
Et ça donne la formule magique. Mais comme je suis entrain de lire le livre de Godement (Analyse 4) ça me donne une petite occasion de faire mumuse. L'identité $(\star)$ est expliquée dans la section 6 page 301 de Analyse Mathématique 4 de Godement, pour l'instant je suis à la page 284 en commençant a la page 271 :-D

PS. Il faut faire attention dans Godement il prend $q = \exp(i \pi z)$ et ici $q = \exp(2i \pi z)$ du coup, il y a un décalage $q$ versus $q^2$ ... hum hum !
Ps. Sorry pour le petit hors sujet Caliwhisky. Mon message pas trop hors sujet est ici.

Oui c'est bien ça. On a même une expression de la fonction multiplicative.

Par exemple, multiplicative ici veut dire faiblement multiplicatif : une suite $a_n$ est faiblement multiplicative lorsque $a_{nm} = a_n \times a_m$ pour $n$ et $m$ premiers entre eux.

Dans le cas que tu proposes $a^2+7b^2=n$, je pense que c'est plus compliqué. Le plus simple est de compter les solutions de $a^2+ab+2b^2 =n$.

Tu veux trouver une fonction multiplicative pour compter c'est ça ? Et tu veux faire intervenir le caractère que tu as vu sur wikipédia ? J'ai bien compris ?

Pour l'instant, j'ai juste ça pour le lien entre les deux représentations :
$$
(a-b)^2+(2b) \times (a-b) + 2 (2b)^2 = a^2+7b^2
$$
Donc si $n = a^2+7b^2$ alors on peut écrire $n$ sous la forme $A^2+AB+2B^2$ en prenant $A = a-b$ et $B = 2b$. Le $A^2+AB+2B^2$ je comprends bien ce qu'il ce passe, pour $a^2+7b^2$, je ne sais pas trop,

Qu'est ce que tu as fait avec l'anneau d'Eisenstein, tu peux détailler ?

Ah d'accord, le truc c'est qu'il y a une différence entre $a^2+3b^2$ et $a^2-ab+b^2$. Si tu veux faire pareil, enfin l'analogue, faut pas prendre $a^2+7b^2$ mais tu peux suivre la même recette pour $a^2+ab+2b^2$ c'est la norme de l'anneau des entiers de $\Q(\sqrt{-7})$ et tu prends ton caractère de wikipédia (c'est rien d'autre que le caractère dont parle Math Coss ici i.e le caractère " être un carré modulo $7$"), ça doit le faire. Si tu as des problèmes sur la construction, je peux t'expliquer c'est pas trop trop compliqué à comprendre.

Pour $a^2+7b^2$ pour l'instant, je dois réfléchir !

Merci pour la vidéo, ça a l'air sympa : le passage sur l'histoire de l'air du cercle est vraiment pas mal (je n'y avais pas pensé mais ça éclair quelques trucs), merci !!!

Fascinant (la vidéo sur $\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^n}{2n+1}$ et la factorisation dans $\Z[\mathrm{i}]$).

Yes ;-)