Densité et nombres premiers

Ça n'est pas si simple. Une démonstration possible repose sur le lemme suivant, où l'on note $\mathbb{P}$ l'ensemble des nombres premiers et $F(\mathbb{P})$ l'ensemble de toutes les fractions de nombres premiers.

Lemme. Soit $\alpha > 1$ réel. Il existe $m_\alpha \in \mathbb{N}^*$ tel que $n > m_\alpha \Longrightarrow \left [ \alpha^n , \alpha^{n+1} \right] \cap \mathbb{P} \neq \varnothing$.

Une fois ce lemme établi et/ou admis, on peut montrer que $F(\mathbb{P})$ est dense dans $\mathbb{R}_+$ de la manière suivante : soit $c > \varepsilon > 0$ et on veut montrer que $\left[ c - \varepsilon, c + \varepsilon \right] \cap F(\mathbb{P}) \neq \varnothing$, ou encore $\left[ q(c - \varepsilon), q(c + \varepsilon) \right] \cap \mathbb{P} \neq \varnothing$ pour un certain nombre premier $q$. Pour ce faire, on choisit $\alpha > 1$ vérifiant $\alpha^2 < \dfrac{c+\varepsilon}{c - \varepsilon}$, auquel on associe l'entier $m_\alpha$ du lemme, puis on prend un nombre premier $q$ tel que $q > \dfrac{\alpha^{m_\alpha}}{c-\varepsilon}$, ce qui est toujours possible puisqu'il y a une infinité de nombres premiers. On note que
$$\log_\alpha \left( q(c+\varepsilon) \right) - \log_\alpha \left( q(c-\varepsilon) \right) = \log_\alpha \left( \frac{c+\varepsilon}{c - \varepsilon} \right )> \log_\alpha \left( \alpha^2 \right) = 2$$
donc l'intervalle $\left [\log_\alpha \left( q(c-\varepsilon) \right) , \log_\alpha \left( q(c+\varepsilon) \right) \right]$ contient au moins deux entiers consécutifs $n$ et $n+1$, de sorte que
$$\left [ \alpha^n , \alpha^{n+1} \right] \subseteq \left[ q(c - \varepsilon), q(c + \varepsilon) \right].$$
Comme $\alpha^{m_\alpha} < q(c-\varepsilon) < \alpha^n$, on obtient $n > m_\alpha$, de sorte que l'on peut appliquer le lemme ci-dessus qui permet de conclure.

Voir aussi la référence [1] ci-dessous.

Référence.

[1] D. Hobby & D. M. Silberger, Quotients of primes, Amer. Math. Monthly 100 (1993), 50–52.

@noix de totos : en quoi ma démo ne fonctionne-t-elle pas ? Les inégalités de Tchebychev suffisent pour conclure.

Bah justement, les bornes d'encadrement fournissent la contradiction ;-)

@noix de totos : en effet j'ai été un peu optimiste, les constantes dans les inégalités de Tchebychev sont un obstacle pour résoudre le problème ici. Le TNP permet bien de répondre à la question par contre.