Densité nombres premiers

particulechris · July 2018

Bonjour à tous,
Je cherche des documents portant sur les densités et les cardinaux.
Par exemple ai-je "le droit" de dire que les nombres pairs ont une densité de 1/2 ?
Puis-je écrire la densité des nombres premiers comme le rapport du cardinal des nombres premiers sur le cardinal des entiers naturels ?
Parler du cardinal des nombres premiers a-t-il un sens ?
Si vous connaissez des ressources sur le sujet ?
Merci pour votre attention.

Poirot · July 2018

Il y a plusieurs notions plus ou moins adaptées de densité ici. Simplement considérer les cardinaux ne suffit pas, car le cardinal de l'ensemble des entiers pairs est le même que celui de l'ensemble des nombres premiers, qui est aussi le même que celui des entiers.

Par exemple tu peux considérer la densité naturelle d'une partie $A \subset \mathbb N$ définie, quand elle existe, par $$\lim_{n \to +\infty} \frac{|A \cap [0, n]|}{n+1}.$$ Avec cette définition, les entiers pairs ont pour densité $\frac{1}{2}$ et les nombres premiers $0$.

C'est une notion très utilisée en théorie analytique, additive et probabiliste des nombres. Tu peux aussi regarder du côté des notions de densité de Schnirelmann, densité logarithmique et densité de Dirichlet, plus ou moins adaptée à différents types de situation.

Math Coss · July 2018

particulechris a écrit:

Parler du cardinal des nombres premiers a t'il un sens?

À la formulation près, oui, il est infini. Plus précisément, le cardinal de l'ensemble des nombres premiers est égal au cardinal de l'ensemble des entiers, de même que le cardinal de l'ensemble des nombres pairs.

particulechris a écrit:

Puis-je écrire la densité des nombres premiers comme le rapport du cardinal des nombres premiers sur le cardinal des entiers naturels ?

Non, c'est d'ailleurs bien parce que le quotient de deux cardinaux infinis n'est pas défini que la notion de densité a été inventée.

particulechris a écrit:

Par exemple ai je "le droit" de dire que les nombres pairs ont une densité de $1/2$ ?

Oui, c'est vrai. Pour $N$ entier naturel, il y a $\lfloor N/2\rfloor$ entiers (non nuls) pairs inférieurs ou égaux à $N$ et $N$ entiers (non nuls) inférieurs ou égaux à $N$. Des inégalités $\lfloor n\rfloor\le n<\lfloor n\rfloor+1$, on déduit que $1-\frac1n<\frac{\lfloor n\rfloor}{n}\le 1$ pour $n\ge1$ donc le quotient $\frac{\lfloor N/2\rfloor}{N}$ tend vers $1/2$ quand $N$ tend vers l'infini.

Références : https://fr.wikipedia.org/wiki/Densité_asymptotique pour commencer ?