Cas particulier du Théorème de Dirichlet
dans Arithmétique
Bonjour,
Je cherche une preuve, la plus élémentaire possible, du cas particulier suivant du Théorème de Dirichlet :
Je sais, c'est classique. Les démonstrations que je connais utilisent les polynômes cyclotomiques ou l'indicatrice d'Euler. Mais je suis à la recherche d'une preuve accessible avec vraiment un minimum de connaissances en arithmétique.
J'en ai trouvé une mais qui utilise tout de même la notion d'ordre multiplicatif d'un élément modulo $n$. La voici, résumée :
$q$ désigne un entier premier impair fixé.
1) Soit $x\geqslant2$ un entier tel que $q\wedge(x-1)=1$ . Alors tout facteur premier $p$ de $\dfrac{x^q-1}{x-1}$ est tel que $q\,|\,p-1$.
2) Pour $n\in\N$, notons $Q_n=\dfrac{q^{2^nq}+1}{q^{2^n}+1}$. Alors les $Q_n$ sont impairs et deux à deux premiers entre eux.
3) Un entier premier $p$ divisant un des $Q_n$ est tel que $q\,|\,p-1$ (poser $x=q^{2^{n+1}}$, on a $q\wedge(x-1)=1$ et $Q_n \,|\, \dfrac{x^q-1}{x-1}$).
Vous paraît-elle correcte ? En connaissez-vous d'autres ?
Je cherche une preuve, la plus élémentaire possible, du cas particulier suivant du Théorème de Dirichlet :
Théorème a écrit:Si $q$ est un entier premier, il existe une infinité d'entiers premiers $p$ tels que $p\equiv1\;[q]$.
Je sais, c'est classique. Les démonstrations que je connais utilisent les polynômes cyclotomiques ou l'indicatrice d'Euler. Mais je suis à la recherche d'une preuve accessible avec vraiment un minimum de connaissances en arithmétique.
J'en ai trouvé une mais qui utilise tout de même la notion d'ordre multiplicatif d'un élément modulo $n$. La voici, résumée :
$q$ désigne un entier premier impair fixé.
1) Soit $x\geqslant2$ un entier tel que $q\wedge(x-1)=1$ . Alors tout facteur premier $p$ de $\dfrac{x^q-1}{x-1}$ est tel que $q\,|\,p-1$.
2) Pour $n\in\N$, notons $Q_n=\dfrac{q^{2^nq}+1}{q^{2^n}+1}$. Alors les $Q_n$ sont impairs et deux à deux premiers entre eux.
3) Un entier premier $p$ divisant un des $Q_n$ est tel que $q\,|\,p-1$ (poser $x=q^{2^{n+1}}$, on a $q\wedge(x-1)=1$ et $Q_n \,|\, \dfrac{x^q-1}{x-1}$).
Vous paraît-elle correcte ? En connaissez-vous d'autres ?
Réponses
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J'aime bien ta démonstration,
Je me suis amusé a la tester sur un exemple :sage: q = 5 sage: Q = lambda n: (q^(2^n*q)+1) / (q^(2^n)+1) sage: a = Q(3) sage: a 23283004760894775000001 sage: a.factor() 25601 * 909456847814334401 sage: p = 25601 sage: p%q 1 <---- ok
un autre :sage: q = 7 sage: Q = lambda n: (q^(2^n*q)+1) / (q^(2^n)+1) sage: a = Q(3) sage: a 36703361850489468959684888013097184654401 sage: a.factor() 449 * 673 * 39648001 * 21535258550401 * 142256806230113 sage: R = a.factor() sage: R 449 * 673 * 39648001 * 21535258550401 * 142256806230113 sage: [r[0]%q for r in R] [1, 1, 1, 1, 1] <--- ok
Mais bon ça part vite dans des nombres trop trop grand pour pouvoir tester ! c'est triste ! -
D'ailleurs, je ne sais pas si on peut borner le "premier" $p$ premier et congru à $1 \pmod{q}$ ? De manière raisonnable, je veux dire
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Tu peux trouver une démonstration élementaire, "à la Euclide", dans le livre https://www.amazon.fr/Thèmes-darithmétique-Avec-exercices-corrigés/dp/2729827145/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1531856668&sr=8-1&keywords=thèmes+d'arithmétique, Théorème 3.53 page 70.
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Salut. Est ce qu'on peut dire mieux que le premier $p$ tel que $q\mid p-1$ est inférieur à $\dfrac{q^q + 1}{q + 1}$ ?
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D'où sort cette expression ? On peut avoir comme borne $2^q - 1$ directement avec la preuve de uvdose. Mais expérimentalement, ça semble être beaucoup plus bas : en $o(q^2)$ par exemple (mais pas en $O(q)$).
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Salut Champo,
Je note $q$ un premier et $\Phi_q$ le polynôme cyclotomique. Soit $p$ un premier, on a $p = 1 \pmod{q}$ si et seulement si $\Phi_q$ admet une racine dans $\mathbb{F}_p$.
Maintenant, tu prends $x \in \Z$ et un diviseur premier de $p$ de $\Phi_q(x)$ alors forcément $x$ est racine de $\Phi_q \pmod{p}$. Donc le truc a garantir c'est que la famille de nombre $(\Phi_q(x))_{x \in \Z}$ n'est pas multiplicativement engendré par un nombre fini de premier. Et la c'est les $Q_n$ qui donne ça ... je n'ai pas encore compris d'où ça sort ! -
Le TNPPA permet, tout comme le TNP, de fournir des estimation de $p_n(q,a)$, le plus petit $n$ème nombre premier $p$ vérifiant $p \equiv a \pmod q$ (avec $(a,q)=1$).
Très récemment, des estimations explicites ont été calculées de manière très précise pour certains modules. Par exemple, si $q \in \{1,\dotsc,4500\}$, $(a,q)=1$ et si $p_n(a,q) \geqslant 22q^2$, alors
$$n \varphi(q) \log \left( n \varphi(q) \right) < p_n(q,a) < n \varphi(q) \left\lbrace \log \left( n \varphi(q) \right) + \tfrac{4}{3} \log \log \left( n \varphi(q) \right) \right \rbrace.$$ -
Merci Noix de Totos, je suis toujours fasciné devant ce genre d'estimation :-)
Ps : D'ailleurs j'en ai profité pour regarder un peu la démonstration de Dirichlet dans le livre que tu proposes. c'est marrant tout provient d'une estimation de $L(1,\chi)$ (y'a trois jours je disais dans un autre fils que la valeur $L(1,\chi)$ contient souvent de l'information arithmétique, c'est rigolo ces choses même si je ne comprend pas trop trop). Du coup, encore merci NdT, ça comble une petite lacune (je n'avais jamais regardé la démonstration de ce théorème). -
@ModuloP : de rien.
Et effectivement, les valeurs des séries de Dirichlet en leur(s) point(s) singulier(s) sont riches en informations arithmétiques de leurs coefficients, tout comme, d'ailleurs, les valeurs des séries génératrices en leurs points critiques. -
Bonjour,
Voici un document en anglais :
Cordialement -
Merci Bouzar pour le document (intéressant), même si je n'y trouve aucune démonstration "élémentaire" (au sens où je l'ai expliqué) du résultat évoqué au début du fil.
Sinon, il y a cette preuve très courte, mais qui utilise l'indicatrice d'Euler (ce que je veux éviter). -
@Noix de Totos : Je profites un peu de ta connaissance du sujet. Si tu as un peu le temps, est-ce que tu peux me dire si le raisonnement page 19 de ce mémoire tiens la route ?
En gros, voulant prouver que $L(\chi,1)$ est non nulle. Elle introduit la fonction $\zeta$ du corps cyclotomique et montre que $\zeta_K(s) = \prod_{\chi} L(\chi,s)$. De là elle dit que s'il existe $\chi$ non trivial tel que $L(\chi,1) =0$ alors $\zeta_{K}(1) = 0$. Mon problème c'est que $\zeta_K(s)$ n'est pas défini pour $s=1$ à cause de la fonction de Riemann (ou du caractère trivial) et j'ai l'impression qu'elle utilise un truc faux comme "$\infty \times 0 = 0$ " alors qu'il s'agit de limite ?
De toute façon je ne comprends pas trop la fin de la preuve, je suppose qu'il y a un théorème concernant les zéros des produits infinis (je dois me renseigner un peu).
Ps / Sorry uvdose, je suis un peu hors sujet, j'espère que tu ne m'en veux pas :-D -
L'argument en question est valable pour montrer qu'il n'y a pas de tel caractère non réel. En effet, si $L(1, \chi)=0$ pour un tel caractère, on a aussi $L(1, \overline{\chi})=0$, qui apparaît également dans le produit donnant $\zeta_K$. Or dans ce produit, seul $L(s, \chi_0)$ fournit un pôle (simple), où $\chi_0$ est le caractère trivial modulo notre entier $q$.
Pour éliminer les caractères réels, il faut faire un truc un peu différent. -
Ok merci Poirot.
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Tu as raison de dire que $\zeta_K(s)$ n'est pas définie en $s=1$, mais, ici dans sa démonstration par l'absurde, le pôle $s=1$, qui provient du pôle de la série $L$ de Dirichlet associée au caractère principal $\chi_0$, est tué par le zéro supposé de la série de Dirichlet associée au caractère non-principal $\chi$ pour lequel $L(1,\chi)$ est censé s'annuler.
En revanche, je ne vois pas pourquoi $\zeta_K(1)=0$.
La Proposition 2.3 à laquelle l'auteure fait référence est une conséquence d'un théorème bien connu de Landau. -
Ok, oui $\zeta_K(1)$ est bien définie mais pas forcément $0$. Par contre, avec l'argument de Poirot, pour les caractères non réels c'est gagné (avec le caractère $\overline{\chi}$). Et pour les caractères quadratiques on peut voir le lien avec la formule analytique de classe pour voir que c'est non nul (c'est dis dans Arithmetic Tales (il y a deux preuves) ... je vais lire la seconde preuve.
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moduloP écrivait :
> Ps / Sorry uvdose, je suis un peu hors sujet, j'espère que tu ne m'en veux pas :-D
Pas de souci ! -
La preuve de la non-nullité de $L(1,\chi)$ pour $\chi$ complexe est assez facile.
C'est en général plus difficile lorsque $\chi$ est quadratique. Dans ce cas, on peut passer par la formule du nombre de classes de Dirichlet, ou bien utiliser la série de Lambert associée à $\chi$.
En pratique, pour des estimations précises du TNPPA, il est nécessaire d'en savoir un peu plus sur les nombres $L(1,\chi)$, en particulier obtenir des minorations de ces nombres. -
Le lien suivant est un problème montrant le résultat avec uniquement des notions basiques d’arithmétiques (voir la partie 4).
Problème : Quelques cas particuliers du théorème de Dirichlet -
Merci Noix de totos, tout bon pour moi, disons que j'ai les grandes lignes, c'est jolie jolie !
-
Le résultat le plus avancé dont tu as besoin est le petit théorème de Fermat.
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