Équations

Bonjour,

Où $n$ intervient-il ?

Et si tu prends $b=0$ et $a=c=k=m=1$ ?

$0$ est un entier naturel. Si tu veux que les entiers mis en jeu soient strictement positifs, précise-le dès le départ.

Moi je dirais carrément qu'il n'existe pas d'entiers strictement positifs, $a$, $b$, $m$ et $k$ tels que $a^2=m(2k-1)$ et $b^2=2mk(k-1)$.

Qu'en dis-tu, Muskha ?

Salut. Je pense qu'on pouvait alléger les contraintes de @Muskha, en supposant uniquement $b\neq 0$.

2m*k (k - 1) =2*3*2*1=12 n'est pas un carré d'entier.

@gebrane ça ne donnera évidemment rien ! La variété des $u,v,k,m$ satisfaisant $E1=0$ et $E2=0$ est de dimension 2, sa projection sur le plan $u,v$ sera tout le plan.
Là il faut employer des arguments arithmétiques.

YvesM a écrit:

$a^2b^2=m^2a_kb_k$ et, par la décomposition en produit de facteurs premiers, il est nécessaire que $\displaystyle a_k=b_k^{2m+1}, m \in \N$ ou que $\displaystyle b_k=a_k^{2m+1}, m \in \N$

Je ne te suis pas...

Il est plutôt nécessaire que $a_kb_k$ soit un carré non nul, et comme $a_k$ et $b_k$ sont premiers entre eux, $a_k$ et $b_k$ sont eux aussi des carrés non nuls.

Peut-être que Muskha pourrait finir ?

Bonjour,
Pour le fait qu'il n'existe pas d'entiers non nuls $a,b,m,k$ vérifiant $\left\{ \begin{array}{ccl} a^2&=&m(2k-1)\\b^2&=&2mk(k-1)\\ \end{array}\right.$, je suggère cette justification qui n'est peut-être pas la plus simple. Je suppose donc qu'il existe $a,b,m,k$ vérifiant les conditions énoncées et je note: $ d=a\wedge b\:;\: p=\dfrac ad;\: q=\dfrac bd$.
Avec le fait que $2k-1$ et $2k(k-1)$ sont premiers entre eux, nous avons:
$m=m\big( (2k-1)\wedge (2k^2-2k) \big)= a^2 \wedge b^2 =(a\wedge b)^2 = d^2$, d'où l'on déduit: $\left\{ \begin {array}{ccl} p^2&=&2k-1\\q^2&=& 2k(k-1)\\ \end{array} \right.$ puis,
$2k(k-1)p^2=(2k-1)q^2 $, qui équivaut à $ \:\:2p^2k^2 -2(p^2+q^2)k+q^2 = 0$.
Le discriminant de ce polynôme du second degré en $k$ est donc le carré d'un entier: on parvient alors à: $p^4 +q^4 = r^2 \:\:\:(r\in \N^*)$, une égalité dont Pierre de Fermat, inaugurant ainsi sa "méthode de descente infinie", a démontré qu' elle était irréalisable avec des entiers $p,q,r$ non nuls.
Amicalement,
PS On peut également éliminer $k$ dans les deux équations liant $p,q,k$ et aboutir à: $p^4-2q^2 =1$.
En usant de la "théorie de l'équation de Pell -Fermat" (encore lui), on prouve que cette dernière égalité est encore impossible avec des entiers $p,q$ non nuls.