Irrationnel diadique => transcendant ?

lesmathspointclaires · July 2018

1) Existe-t-il un irrationnel algébrique dont le développement décimal en base $3$ ne contient pas de $1$?
2) Existe-t-il un irrationnel dont le développement décimal en base $3$ et le développement décimal en base $4$ ne contiennent pas de $1$ ?

jacquot · July 2018

Bonjour,

La question est bonne, mais le titre n'est pas adéquat : le fait d'être rationnel ou non ne dépend pas du mode d'écriture.

Poirot · July 2018

Je pense que cette question est encore ouverte. Le développement (en n'importe quelle base) d'un irrationnel algébrique est très mal compris en général. Au contraire, il y a des résultats du type "si le développement d'un nombre dans une certaine base est suffisamment simple, alors le nombre est transcendant", où suffisamment simple peut vouloir dire "peut être décrit par un automate cellulaire".

EDIT : il faut bien sûr exclure les développements périodiques, qui décrivent les rationnels !

lesmathspointclaires · July 2018

Merci Poirot pour cette super réponse !

Est-ce que par exemple, tu sais si un irrationnel dont toutes les décimales de rang pair (du développement décimal en base $b$ ) sont $0$ est forcement transcendant? (on est pas dans le cas décrit par un automate cellulaire car on ne dit rien des décimales de rang impaire, mais ça rentre peut-être dans les cas "suffisamment simple" dont on connait la réponse.... (notons qu'on est alors dans la configuration de décimales "évitées" dans la base $b^2$))

Poirot · July 2018

Je n'ai pas la réponse à ta question, mais tu peux regarder du côté des travaux de Boris Adamczewski pour avoir des énoncés précis.

lesmathspointclaires · July 2018

Merci Poirot!

Irrationnel diadique => transcendant ?

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Bonjour!

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