Résolution d'un système d'équations
Bonjour/Bonsoir,
[EDIT] J'ai trouvé une erreur dans mon raisonnement. Je reviens et j'actualise le sujet une fois que ça semblera réglé. Désolé.
[Second EDIT] Rectification de la formule. En attente de nouveaux résultats, nécessitant des démonstrations. Mais le fil reste ouvert.
Depuis quelques jours je suis bloqué en face d'une chose qui m'est difficile à résoudre. Je n'ai jamais suivi de cours de mathématiques supérieurs (pour cause : je vais entrer en première scientifique), et j'apprends sur le tas.
Ca me semble assez difficile de vous expliquer d'où provient cette égalité (tant bien qu'elle soit résoluble, je vais revenir sur ce point dans la suite du message), mais pour faire court : Je suis parti d'un bête problème d'arithmétique, que j'ai ensuite "analysé" en le passant en un problème de théorie des graphes (finalement, il y avait quelques similarités avec la notion de fractales, mais je ne vais pas trop m'avancer sur ce sujet). Une fois là, j'ai repéré maintes sous-structures que j'ai étudiées localement (en faisant bien attention à ce que le local ait un effet sur le global et d'autres petites propriétés) par l'arithmétique. (Je suis par exemple tombé sur la suite de Fibonacci et myriades de choses qui me dépassaient grandement, mais ce n'est que détail). De nouveau revenu sur les sentiers de l'arithmétique, je ré-étudie la structure générale engendrée par les résultats que j'avais obtenu sur chaque sous-structure, par la théorie des graphes et l'algèbre et me voici finalement devant cette formule : $$\sum_{j=1}^{2^n} i_j = 2^px(2^n-3^q)+2^{p+n-2}n
$$ Pour information, elle décrit la somme de tous les éléments du $n$-ième étage, contenant $2^n$ éléments.
Ce que je tends à vouloir faire serait de déduire toutes les possibilités d'éléments appartenant à la collection $i$ (de $2^n$ éléments, parcouru par "l'itérateur" $k$ (ce doit être un anglicisme de parler d'itérateur).
J'ai quelques informations supplémentaires :
Comme idée de résolution, j'avais en tête d'utiliser la théorie du transport optimal (je pense que je vais vraiment partir dans cette direction là et finir le tout par de la combinatoire), d'essayer de manière "aléatoire" (mais je n'aime pas cette idée)[balancer des valeurs et essayer d'affiner petit à petit], une sorte de méthode des moindres carrées, et même de la combinatoire. Problème, je n'en maîtrise (convenablement ou pas) aucune. Je m'en remets donc à vous.
[J'ai parlé de système d'équation car on peut très bien voir le tout tel que $i_1 = ...$, $i_2 = ...$, ..., $i_{2^n} = ...$.]
PS. Je me doute ne pas avoir le vocabulaire le plus approprié possible, et rigoureux, afin de parler des structures mathématiques. Je m'en excuse donc. J'ai encore beaucoup à apprendre.
Respectueusement,
Garnier Mathias.
[EDIT] J'ai trouvé une erreur dans mon raisonnement. Je reviens et j'actualise le sujet une fois que ça semblera réglé. Désolé.
[Second EDIT] Rectification de la formule. En attente de nouveaux résultats, nécessitant des démonstrations. Mais le fil reste ouvert.
Depuis quelques jours je suis bloqué en face d'une chose qui m'est difficile à résoudre. Je n'ai jamais suivi de cours de mathématiques supérieurs (pour cause : je vais entrer en première scientifique), et j'apprends sur le tas.
Ca me semble assez difficile de vous expliquer d'où provient cette égalité (tant bien qu'elle soit résoluble, je vais revenir sur ce point dans la suite du message), mais pour faire court : Je suis parti d'un bête problème d'arithmétique, que j'ai ensuite "analysé" en le passant en un problème de théorie des graphes (finalement, il y avait quelques similarités avec la notion de fractales, mais je ne vais pas trop m'avancer sur ce sujet). Une fois là, j'ai repéré maintes sous-structures que j'ai étudiées localement (en faisant bien attention à ce que le local ait un effet sur le global et d'autres petites propriétés) par l'arithmétique. (Je suis par exemple tombé sur la suite de Fibonacci et myriades de choses qui me dépassaient grandement, mais ce n'est que détail). De nouveau revenu sur les sentiers de l'arithmétique, je ré-étudie la structure générale engendrée par les résultats que j'avais obtenu sur chaque sous-structure, par la théorie des graphes et l'algèbre et me voici finalement devant cette formule : $$\sum_{j=1}^{2^n} i_j = 2^px(2^n-3^q)+2^{p+n-2}n
$$ Pour information, elle décrit la somme de tous les éléments du $n$-ième étage, contenant $2^n$ éléments.
Ce que je tends à vouloir faire serait de déduire toutes les possibilités d'éléments appartenant à la collection $i$ (de $2^n$ éléments, parcouru par "l'itérateur" $k$ (ce doit être un anglicisme de parler d'itérateur).
J'ai quelques informations supplémentaires :
- $p \leq n$ (la condition forte [mais on peut "rendre plus simple" le problème en adoptant la condition faible, c'est-à-dire : $p = n$, mais je doute que ça ait une grande utilité et si surtout si cela aurait un sens]);
- $p$, $q$, et $x$ sont des inconnues (en plus de la collection $i$ de $2^n$ éléments);
- On a donc $2^n + 3$ inconnues pour un système de seulement $2^n$ équations. Ce qui est, en effet, gênant. J'ai cru comprendre que ce genre de système d'équations ne possèdent soit aucune solutions soit une infinité (avec une tendance à ne plutôt n'en avoir aucune [à chaque fois, ça m'a l'air de converger vers une valeur négative, donc problématique]);
- L'étude se fait dans $\mathbb{N} \cup \{0\}$.
- Il y a une tendance non négligeable à ce que chaque inconnue ne possède que certaines valeurs (attention, je conjecture, mais jusqu'à preuve du contraire c'est ce que j'ai observé et déduit) bien définies, et qui soient en corrélation avec les autres inconnues.
Comme idée de résolution, j'avais en tête d'utiliser la théorie du transport optimal (je pense que je vais vraiment partir dans cette direction là et finir le tout par de la combinatoire), d'essayer de manière "aléatoire" (mais je n'aime pas cette idée)[balancer des valeurs et essayer d'affiner petit à petit], une sorte de méthode des moindres carrées, et même de la combinatoire. Problème, je n'en maîtrise (convenablement ou pas) aucune. Je m'en remets donc à vous.
[J'ai parlé de système d'équation car on peut très bien voir le tout tel que $i_1 = ...$, $i_2 = ...$, ..., $i_{2^n} = ...$.]
PS. Je me doute ne pas avoir le vocabulaire le plus approprié possible, et rigoureux, afin de parler des structures mathématiques. Je m'en excuse donc. J'ai encore beaucoup à apprendre.
Respectueusement,
Garnier Mathias.
Réponses
-
Quel âge as-tu?
NB: je ne te suppose aucune sénilité précoce.
Edit -
"je vais entrer en première scientifique", a-t-il écrit.
-
On peut passer son bac à 80 ans.
-
Bonjour/Bonsoir,
Oh mince, excusez-moi je n'avais pas pensé à ça. C'est vrai que ce n'était pas très précis et que cela ne pouvait ne donner qu'au plus une maigre idée. J'ai donc 16 ans (depuis environ 1 mois), ce qui signifie que je n'ai ni redoublé ni sauté de classe.
J'ai trouvé d'autres propriétés intéressantes :- J'ai pu réussir à caractériser $2^{p_j}$, en revanche, niveau notation et rigueur je pense avoir fait tout et n'importe quoi (j'ai mélangé plein de choses, beaucoup d'informatique théorique à mes yeux) :
$$2^{p_j} = \text{Codomain}(\text{Set}^n(p))_j$$
avec $\text{Codomain}(\text{Set}^n(p)) = \{0, 2\} \displaystyle{\bigcup_{p=2}^{n}} \underbrace{\{2^p, 2^p, ..., 2^p\}}_{2^{p-1} \text{fois}}$, où $\text{Codomain}(\text{Set}^n(p))_j$ retourne le j-ième élement de $\text{Codomain}(\text{Set}^n(p))$ (petite précision supplémentaire, $n$ représente "l'étage" étudié).
Je maintiens que $d_n(3^{q_j}, i_j)$ est relativement faible, de l'ordre d'environ $5$ (voire moins) lorsque $n$ est inférieur ou égal à $3$. Ensuite à partir de là il commence à se former des différences métriques plus conséquentes, mais uniquement sur $\text{max}_n(3^{q_j})$ et $\text{max}_n(i_j)$ (remarquez que l'indice $j$ est le même, ce qui signifie que, toujours, semblerait-il, les plus grandes valeurs de "l'étage" $n$ sont donc prises sur le même élément). De plus j'ai conjecturé (et c'est simple à démontrer), que $\text{max}_n(3^{q_j}) = 3^n$ (1). - En revanche, pour la représentation/caractérisation de $3^{q_j}$, c'est quelque peu plus complexe. A "l'étage $n$", il y a $2^n$ éléments, et, pour l'instant, je ne suis capable de ne prédire que $2^n / 2$ éléments sur le tout. On sait simplement que $q_j \in \mathbb{N} \cup \{0\}$, et qu'au plus, $q_j = n$ (cf (1)).
Finalement, j'ai quelque chose comme ça :
$$\displaystyle{\sum_{j=1}^{2^n}} \frac{3^{q_j}}{2^n}x + \frac{i_j}{\text{Image}(\text{Set}^n(p))_j} = 2^nx+2^{n-2}n$$
Un exemple de solution (on laisse $x$ comme étant une inconnue) [j'espère vraiment ne pas me tromper en recopiant] : $n = 3$- $\Sigma = 8x + 6$
- $2^3 = 8$
- $\forall j \in \mathbb{N}, 3^{q_j} = \{1,3,3,9,27,9,9,3\}$
- $\forall j \in \mathbb{N}, i_j = \{0,1,1,5,19,5,7,1\}$ (J'ai un gros doute si la syntaxe des deux dernières lignes (celle ci et la précédente) est correcte.)
J'avais pour idée de suivre quelques cours d'arithmétique modulaire plus poussés (sous forme de polycopiés), et pourquoi pas d'étudier de l'algèbre (théorie des groupes, etc). Je me demandais, et je n'ai pas suffisamment de connaissance à ce sujet pour me faire une idée précise, est-ce que à la manière de l'anneau $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ on pourrait étudier : $\mathbb{N}/n\mathbb{N}$ ? Je ne vois a-priori aucune contre-indication, quelque chose doit sans doute m'échapper.
Je vais également essayer de suivre des cours sur la théorie du transport optimal (donc tous les pré-requis nécessaire également, théorie de la mesure, m'améliorer conséquemment en analyse, EDP, probabilités) [j'ai également découvert la théorie Sturm-Lott-Villani], d'optimisation, etc...
Respectueusement,
Garnier Mathias. - J'ai pu réussir à caractériser $2^{p_j}$, en revanche, niveau notation et rigueur je pense avoir fait tout et n'importe quoi (j'ai mélangé plein de choses, beaucoup d'informatique théorique à mes yeux) :
-
Bonjour Mathias,
tu sembles confondre "bête problème d'arithmétique" et "problème dont l'énoncé est compréhensible par un élève du primaire".
Un de tes messages a disparu où tu disais peut-être quel était ce problème mais, en l'état, tes mails sont incompréhensibles; pour le moins, tu n'as pas à attendre qu'on devine qui est ce loup blanc (:P) -
Bonjour,
Comme le dit depasse, il est impossible de comprendre ton problème car tu ne définis pas clairement tes notations.
La raison profonde qui fait que l'on n'étudie pas $\mathbb{N}/n\mathbb{N}$ est que $\mathbb{N}$ n'a pas une structure de groupe ou d'anneau (pour les lois usuelles) mais de monoïde. Le monoïde quotient $\mathbb{N}/n\mathbb{N}$ ressemble d'ailleurs énormément à $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$...
Il te faudrait un cours d'algèbre de niveau prépa pour avoir la notion de groupes quotients et de quotient d'un anneau par un idéal. Faire de l'arithmétique modulaire sans comprendre ce qu'est formellement $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ me semble donc difficile. -
Bonjour/Bonsoir,
(smiley) Parfaitement oui. Je vais donc tout expliquer. Ce sera sans doute un peu long, mais ça aura le mérite d'être complet. Et afin de finir la "pré-réponse", non, aucun message n'a disparu, je n'en avais simplement pas parlé. (Encore.) Une erreur de ma part, le pire dans tout cela c'est qu'elle était consciente.depasse a écrit:Tu sembles confondre "bête problème d'arithmétique" et "problème dont l'énoncé est compréhensible par un élève du primaire".
Juste avant de commencer, je tenais à dire que votre formulation de la chose m'a beaucoup faite sourire.
Donc :
Comme toute personne "normalement" constituée, je me pose des questions. Passionné par les Mathématiques, quelques unes de mes interrogations portent sur ce sujet. Une portait sur les Mathématiques (ça peut sembler, et ça l'est, très répétitif, mais vous allez comprendre pourquoi). Pourquoi dis-je les Mathématiques (dans leur "entièreté", façon de parler) ? On (je vais définir ce "on" dans peu de temps) m'a renvoyé vers maints domaines appartenant aux Mathématiques. Qui m'y a renvoyé, et quels sont-ils (ces domaines) ? En quête de réponse, j'ai créé un fil sur reddit. Erreur de ma part, sujet (encore une fois (smiley)), trop peu défini et trop large. C'était également très flou et confus, que ce soit par la formulation ou la façon d'amener les choses. Bref, on m'a (majoritairement, seule une personne a été ouvertement cynique) bien aiguillé et j'ai pu faire quelques recherches (pas suffisamment pour autant). Ce que j'avais en tête (c'est vraiment à formaliser et j'ai bien du mal à le dire) est une sorte de "théorie synthétique" décrivant et caractérisant les relations intrinsèques et extrinsèques d'un objet (quelconque) mathématique par rapport à lui-même ou un environnement. Quand je parle d'objet, j'entends par là un objet au sens le plus abstrait possible. (En faisant une analogie ("réductrice", et tant bien qu'elle soit possible), ce serait comme faire un mélange de la géométrie de la topologie et théorie des modèles, par exemple, on pourrait dire que deux objets sont homéomorphes tout en pouvant étudier formes, courbures[...]. Je m'arrête là car je m'aventure dans des domaines que je ne connais pas (suffisamment ou pas).)
Ohhh, mince (smiley), je suis démasqué ! En effet, c'est bien la conjecture de Syracuse, Collatz, problème 3x+1 ou que sais-je encore. Je n'ai absolument pas la prétention d'essayer de résoudre ce problème, mon but était tout autre. Vous vous souvenez de ce que je disais au sujet de ce que je cherchais sur le forum reddit ? Eh bien, en ayant eu (par un concours de circonstance) la conjecture de Collatz sous les yeux à un moment donné, je me suis demandé si je ne pouvais pas essayer d'explorer (oui, clairement, explorer) ce que j'avais en tête par le biais du problème 3x+1. Je (re-)précise que je n'ai absolument pas la prétention de m'attaquer à ce genre de problème dans l'idée de les résoudre, loin de là, j'ai simplement jugé opportun la conjecture de Syracuse dans l'idée de m'amuser mais également dans le but d'éclaircir mes idées (vis-à-vis de ce que j'avais en tête sur reddit). [Il se peut, très probablement, ]
Quoi de mieux qu'un exemple afin d'(essayer d')illustrer mes propos (concernant mes dires sur reddit) ? Nous allons prendre un objet "algébraïco-arithmétique" "présenté" juste au dessus :
$$\displaystyle{\sum_{j=1}^{2^n}} \frac{3^{q_j}}{2^n}x + \frac{i_j}{\text{Codomain}(\text{Set}^n(p))_j} = 2^nx+2^{n-2}n$$
Le but est donc de définir les collections $q$, $p$ et $i$ à l'ordre $n$ en ne connaissant que l'ordre, c'est à dire $n$, et quelques autres propriétés d'interactions inter-collections et inter-ensembles.
Apporter une méthode générale concernant la généralisation d'un objet quelconque afin de répondre à un problème donné, tout en étant "aidé" de quelques propriétés d'interactions intrin/extrin-sèques. (On peut appeler ça les Mathématiques, non ? (smiley) Bah justement, faudrait vraiment que je réussisse à formaliser ma pensée et tout bien écrire correctement.) (J'avais pour idée des sortes de "distributions" dans et de l'objet étudié, une notion de densité, un plongement (mais pas au sens de Nash-Moser) et quelques autres petites idées. Je dois certainement ré-inventer la roue, mais n'ayant pas trouver de documents parlant de ce que j'avais en tête, eh bien je ne sais pas trop. Il faut que je continue de faire des recherches.) [Note pour moi-même: Je le sens venir de très loin, dans très peu de temps je vais trouver mes propos (tous) désuets.]
Dans tous les cas, ma question vis-à-vis de comment déduire $q$, $p$ et $i$ à l'ordre $n$ reste d'actualité (si quelqu'un accepte bien de m'aider).
Ps: Je ne sais pas si c'est simplement un rêve candide et utopique, mais la somme de mon manque de connaissances, de compétences, d'expériences[...] m'empêche de me faire une idée "convenable" à propos du sujet. De trancher le vrai du faux (en terme de réalité et non de vérité). De plus, j'ai cru comprendre que mon utilisation "abusive" des parenthèses, de parenthèses de parenthèses, etc, dérangeait. Je ne vais pas non plus m'en excuser, car c'est ma façon d'écrire, mais je pense que vous comprenez ce que je sous-entends et veux dire. ("Désolé, mais faire autrement n'est pas trop possible, à moins que ça altère sévèrement la compréhension, mais j'ai cru comprendre que cela pouvait diviser (ceux contre et ceux pour). Et puis, j'aime ça.")
Respectueusement,
Garnier Mathias.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 69 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 33
+22 Invités