Distances toutes entières

soland · July 2018

Trouver 100 points du plan euclidien,
pas tous alignés, pas tous cocycliques,
dont les distances 2 à 2 sont toutes entières.

Dom · July 2018

J'ai en tête les triangles Pythagoriciens, pour démarrer...

uvdose · July 2018

Bonjour,

Prendre le point de coordonnées $(0;2\times99!)$ et l'accompagner des points de coordonnées $\left(\frac{99!}{k}(k^2-1);0\right)$, pour $1\leqslant k\leqslant 99$.

Edit : Dom m'a précédé de deux minutes et a eu la bonne idée.

JLT · July 2018

Il suffit de prendre le point $(0,p^k)$ ainsi que les points $(x_i,0)$ avec $x_i=\frac{1}{2}(p^i-p^{2k-i})$ pour $k=49$, $p$ un nombre impair et $0\leqslant i\leqslant 98$. On a $p^{2k}=z_i^2-x_i^2$ où $z_i=\frac{1}{2}(p^i+p^{2k-i})$ donc le point $(x_i,0)$ est à distance $z_i$ de $(0,p^k)$.

uvdose · July 2018

Je me permets de rappeler le résultat classique (Erdös) : soit $E$ une partie infinie du plan euclidien telle que $\forall (P,Q)\in E^2, PQ\in\N$, alors tous les points de $E$ sont alignés.

Exercice : le démontrer.

uvdose · July 2018

Un $n$-pack est un ensemble $E$ de points du plan vérifiant $\forall (P,Q)\in E^2$, $PQ\in\N$ et ne contenant ni $3$ points alignés, ni $4$ points cocycliques. À ce jour, il me semble qu'on ne connaît aucun $n$-pack avec $n>7$... Kreiser et Kurz ont trouvé ce $7$-pack.

Ci dessous le $6$-pack (non symétrique) classique de Kemnitz. 78400

soland · July 2018

On résout le problème sur les rationnels, puis on transforme la solution par une homothétie idoine.
Le th. d'Erdös vient de ce que le rapport d'homothétie explose.

On mène par l'origine la droite de pente "pythagoricienne" $2m/(1-m^2)$, où $m\in\mathbb{Q}$.
Elle recoupe le cercle $x^2+y^2=x$ en un point $q(m)$ à coordonnées rationnelles. Deux petits miracles :
La distance de $q(m)$ à l'origine et la distance de $q(m)$ et $q(n)$ sont rationnels.
On transforme les $q(m)$ par une inversion centrée à l'origine et on translate. On obtient la famille de points
$$
\{ \pm1/2, 0 \} \cup\,\bigcup_{m\in\mathbb{Q}} \{ 0, m/(1-m^2) \}
$$
La distance de $\{ 1/2, 0 \}$ et $p(m) := \{ 0, m/(1-m^2) \}$ est
$$
\frac{1+m^2}{2|1-m^2|}
$$
Y a plus qu'à puiser.

PS. La distance de $q(m)$ au centre du cercle est évidemment rationnelle aussi. 78420