n divise une somme

i ?

Exemple : $n=4$, $i=5$, $4$ divise $\sum_{k=1}^{n} k^{\mathrm{pgcd}(i,n)}=\sum_{k=1}^{4} k=10$.

Sauf erreur, avec tes notations $S_{2,15}=32880$, $S_{2,3}=12$ et $S_{2,5}=40$. Donc $S_{2,15}\not=S_{2,3}\times S_{2,5}$.

noix de totos a écrit:

Cette fonction arithmétique étant multiplicative

Ah, je pensais que non... mais je ne suis pas très à l'aise dans ce domaine des fonctions arithmétiques.

Si $a\geq2$ et $b\geq2$ sont premiers entre eux, on arrive en notant $f_k(n)=\sum\limits_{d|n}\varphi(d)k^{n/d}$, à : $f_k(ab)=\sum\limits_{d|a}\varphi(a/d)f_{k^d}(b)$. Cela suffit à Francinou et Gianella pour résoudre le problème (en raisonnant par récurrence sur le nombre de facteurs premiers de $n$, après avoir réglé le cas des puissances primaires).

Bonjour,

après un belle sonnerie, il faut se remettre en selle ... quitte à retomber de plus belle!

$a_b$ désigne le reste de la division de $a$ par $b$,
$a\wedge b$ le pgcd de $a$ et de $b$,
$S_{r,n}:=\sum_{i=1}^{n}r^{i\wedge n}$.

Si $m$ et $n$ sont étrangers et tels que, pour tout $r$, $m$ (resp. $n$) divise $S_{r,m}$ (resp. $S_{r,n}$), alors, pour tout $r$, $mn$ divise $S_{r,mn}$:

$m$ et $n$ étant étrangers, pour tout $h$, $h\wedge mn=(h_m\wedge m)(h_n\wedge n)$;
$S_{r,mn}=\sum_{h=1}^{mn}r^{h\wedge mn} =\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}r^{(i\wedge m)(j\wedge n)}=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}(r^{i\wedge m})^{j\wedge n}=\sum_{i=1}^{m} S_{r^{i\wedge m},n}$.
Par hypothèse, $n$ divise chaque $S_{r^{i\wedge m},n}$, donc leur somme sur $i$, i.e. $S_{r,mn}$ et, symétriquement, $m$ divise aussi
$S_{r,mn}$. En utilisant, à nouveau le fait que $m$ et $n$ sont étrangers, on obtient que $mn$ divise bien $S_{r,mn}$.

On verra bien!

Cordialement
Paul