Équation et exposants

meder · July 2018

Bonjour à tous,

je souhaite déterminer des solutions de l'équation diophantienne x^x * y^y = z^z avec x,y et z entiers supérieurs ou égaux à 2.

Le triplet (6^8, 12^6, 2^11*3^7) convient et j'en cherche d'autres.

Merci d'avance.

Dom · July 2018

Mon idée de collégien est de partir des décompositions en nombres premiers... mais est-ce exploitable ?

meder · July 2018

Soient x, y et z des entiers supérieurs ou égaux à 2.

On note n le nombre de facteurs premiers distincts dans les décompositions de x, y et z et p₁, ..., p_n ces facteurs premiers.

On note a_i (resp b_i et c_i) la valuation p_i-adique de x (resp de y et de z) pour tout entier i compris entre 1 et n.

Par unicité de la décomposition en produits de facteurs premiers, on obtient :
(x, y, z) solution ssi pour tout entier i compris entre 1 et n, a_ix+b_iy=c_iz

En notant (x,y,z) un triplet solution, on remarque (x+y)^x+y=(x+y)^x * (x+y)^y > x^x * y^y = z^z.
On en déduit que max(x,y) < z < x+y

On obtient également que pour tout i, min(a_i, b_i) < c_i < a_i+b_i.

Dom · July 2018

Cela fait penser à une relation de Bézout.

meder · July 2018

J'ai l'impression que c'est une apparence trompeuse due à mon choix de notations dans la mesure où les a_i dépendent de x, les b_i de y et les c_i de z.

uvdose · July 2018

Voici trois autres solutions :
$x=224^{14}$ , $y=112^{16}$ , $z=2^{68}7^{15}$,
$x=61440^{30}$, $y=30720^{32}$, $z=2^{357}15^{31}$, et
$x=2^{1664}31^{64}$, $y = 2^{1674}31^{62}$ $z= 2^{1670}31^{63}$.

Un certain Chao Ko a démontré en 1940 qu'il y avait une infinité de solutions, mais la question de savoir s'il les a toutes trouvées semble encore ouverte...
[Chao Ko, Note on the diophantine equation $x^yy^y=z^z$, J. Chinese Math. Soc., 2(1940) 205-207; MR 2, 346.]

Source : Richard K.Guy, Unsolved Problems in Number Theory (D13), Springer-Verlag

uvdose · July 2018

Voir ce papier dans lequel la famille infinie de solutions suivante est donnée :

$x=2^{2^{n+1}(2^n-n-1)+2n}(2^n-1)^{2^{n+1}-2}$
$y=2^{2^{n+1}(2^n-n-1)}(2^n-1)^{2^{n+1}}$
$z=2^{2^{n+1}(2^n-n-1)+n+1}(2^n-1)^{2^{n+1}-1}$

($n\geq2$)

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