Diophante et alias

soland · July 2018

(1) Trouver une solution $(x,y,z,a,b,c,k)$ de

$ y^2 z^2 = a^2 + k^2 $
$ z^2 x^2 = b^2 + k^2 $
$ x^2 y^2 = c^2 + k^2 $

(2) Trouver une infinité de solutions de ...

(3)$^*$ Trouver toutes les solutions de ...

Akdim rachid · July 2018

je pense que c est plus facille de résoudre mon probléme que le tiens.

YvesM · July 2018

Bonjour,

Pour la première question, en plus de la solution triviale, on a : $a=b=c=7, x=y=z=5, k=24$ puisque $5^2.5^2=7^2+24^2=625.$

YvesM · July 2018

Bonjour,

Pour la deuxième question :
On a, pour tous $p,q$ deux entiers, $a=b=c=|p^4+q^4-6p^2 q^2|, x=y=z=p^2+q^2, k=4p q |p^2-q^2|$ puisque $(p^2+q^2)^2. (p^2+q^2)^2=(p^4+q^4-6 p^2 q^2)^2+(4 p q (p^2-q^2))^2.$

uvdose · July 2018

Voici une famille de solutions avec $a<b<c$ :

$k=2t^4+4t^3+4t^2+2t$
$a=t^5+2t^4+t^3-t^2-2t-1$
$b=t^5+3t^4+3t^3+2t^2$
$c=t^6+3t^5+5t^4+5t^3+2t^2$ $\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(t\geq2)$
$x=t^3+2t^2+2t$
$y=t^3+t^2+t+1$
$z=t^2+t+1$

Exemple avec $t=2$ :

$\left\{\begin{array}{c}
15^2\times7^2=63^2+84^2\\
7^2\times20^2=112^2+84^2\\
20^2\times15^2=288^2+84^2\\
\end{array}\right.$

soland · July 2018

@Rachid Je pense aussi.
@YvesM Un début.
@ uvdose A oui! Comment as-tu fait ?

soland · July 2018

Autre piste, un délire de parenthèses et de carrés. 78494

uvdose · July 2018

Je suis parti des triplets pythagoriciens $(2u,u^2-1,u^2+1)$, $(2v,v^2-1,v^2+1)$ et $(2w,w^2-1,w^2+1)$ que j'ai multipliés respectivement par $vw$, $uw$ et $uv$. Cela donne les identités :

$\left\{\begin{array}{c}
[vw(u^2+1)]^2=[vw(u^2-1)]^2+(2uvw)^2\\
[uw(v^2+1)]^2=[uw(v^2-1)]^2+(2uvw)^2\\
[uv(w^2+1)]^2=[uv(w^2-1)]^2+(2uvw)^2\\
\end{array}\right.$

Pour avoir une solution à ton système, on peut prendre $k=uvw$, $a=vw(u^2-1)$, $b=uw(v^2-1)$, $c=uv(w^2-1)$, $x=u(v^2+1)$, $y=v(u^2+1)$, $z=w$, en imposant $xy=uv(w^2+1)$, c'est à dire $(u^2+1)(v^2+1)=w^2+1$. Pour que cela soit vrai, il suffit de pendre $u=t$, $v=t+1$ et $w=t^2+t+1$.

En revanche, je n'ai pas du tout réfléchi à la façon de trouver toutes les solutions de ton équation.

D'où vient ta question ? As-tu toutes les solutions ?

soland · July 2018

@uvdose
(1) Crux Mathématicorum Mai1998, réponse rerédigée.
(2) Non.

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