Une vraie question

C'est une question qui me turlupine depuis des années.
J'avais remarqué, en quelle occasion je ne sais plus, que l'équation sur $\mathbb{N}$ $$
\sum^n_{i=1} x_i^3 = \Big( \sum^n_{i=1} x_i \Big)^2
$$ a beaucoup de solutions si $n$ n'est pas trop petit.

Une famille de solutions est bien connue :
On construit le treillis des diviseurs d'un entier, 30 par exemple, dont le treillis est celui des arêtes d'un cube.
Pour chaque sommet on compte les sommets de son sous-treillis, i.e. le nombre de ses diviseurs.
Pour 30, les diviseurs sont $\{ 1,2,3,5,6,10,15,30 \}$ et le compte des diviseurs donne
$\{ 1,2,2,2,4,4,4,8 \}$ et on a bien $$
1^3 + 3\times 2^3 + 3\times 4^3 + 8^3 = 729 = (1+3\times 2+3\times 4+8)^2.
$$ Mais la majorité des solutions n'entrent pas dans ce schéma (cf. infra) et je n'y discerne aucune structure.

Quelqu'un a une idée ?