Les nombres de Fermat

Si $p\mid q$ alors : $a^{p}-1\mid a^{q}-1$.

Sauf erreur,

$\displaystyle 2^{2^{2^1}}-1=2^{4}-1=15$

et:

$\displaystyle 2^{2^{1}}-1=2^{2}-1=3$

et $3$ divise bien $15$

En tout cas pour $n=1,2,3,4$ la dernière propriété semble vraie.

Bonjour,

Pour tout $m \in {\mathbb N}$,
$G_m:=2^{2^m}-1$. D'où:
$G_0=1$; $G_{m+1}=G_m \mathcal{F}_{m}$;
tout terme de la suite $G$ divise tout terme de la suite $G$ d'indice supérieur;
tout terme de la suite $ \mathcal{F} $ divise tout terme de la suite $G$ d'indice strictement supérieur;
En particulier, pour tout $n \in {\mathbb N}$, $\mathcal{F}_{n}$ divise $G_{2^n}$ (car $n<2^n$), et donc $\mathcal{F}_{n}$ divise $2*G_{2^n}$.
Or $2*G_{2^n}=2^ {\mathcal{F}_{n}}-2$.

En espérant etc...

Amicalement
Paul

Bonsoir,

Je justifie ma dernière égalité en prenant soin de remplacer mon $*$ par $\times$:

$2 \times G_{2^n}= G_{2^n} \times 2= (2 ^ {(2^{2^n})}-1) \times 2^1= 2 ^ {(2^{2^n})} \times 2^1 - 1 \times 2^1= 2 ^ {(2^{2^n})+1} -2=
2 ^ {(2^{2^n}+1)} -2=2^{\mathcal {F}_n} - 2 $.

Bien à toi
Paul

Salut
Je pense que @depasse a eu le résultat voulu, mais sans passer par la méthode demandée. Il est aussi possible qu'il y ait un problème avec le $-1$ à la place de $+1$. En tout cas je n'arrive pas encore à voir l'équivalence demandée, avec ce $-1$.

Merci.