Bijection modulo $a^i$

Light*
Light*
dans Arithmétique
Bonjour à toutes et à tous,

Je voulais savoir si vous connaissiez des résultats concernant ceci : soient :
- $a \geq 2$, $n \geq 1$,
- $a_1,...,a_n,b_1,...,b_n \in \mathbb{Z}/a^n\mathbb{Z}$,
- $x_1,...,x_n,y_1,...,y_n$ tels que $0 \leq x_i,y_i \leq a-1$.
On a : $$ a_1x_1+...+a_nx_n \equiv b_1y_1+...+b_ny_n ~[a^n] $$

Connait-on une condition suffisante (et nécessaire...on peut rêver ^^) sur les $a_i,b_i$ pour qu'à chaque couple $(x_1,...,x_n)$ on puisse associer un unique couple $(y_1,...,y_n)$?

Et plus dur (enfin je crois) : soient $a_{i,j}, b_{i,j} \in \mathbb{Z}/a^j\mathbb{Z}$, soient $x_i,y_i$ tels que $0 \leq x_i,y_i \leq a-1$. Si on a : $$ a_{j,1}x_1+...+a_{j,j}x_j \equiv b_{j,1}y_1+...+b_{j,j}y_j ~[a^j]~~~~ 1\leq j \leq n$$

connait-on des conditions suffisantes (et nécessaire... ne vous privez pas!) sur les $a_{i,j}, b_{i,j}$ pour qu'à chaque couple $(x_1,...,x_j)$ on puisse associer un unique couple $(y_1,...,y_j)$ et ce, pour $j$ allant de $1$ à $n$.

J'espère avoir été clair... merci !

Réponses

  • Light*
    Light*
    Bon, je vais devoir vous ferrer plus finement :p

    Est-ce que l'on connait une condition nécessaire et suffisante sur $a$ et $b$ $\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ pour que, pour tout $0 \leq x \leq n-1$, il existe un unique $0 \leq y \leq n-1$ tels que $ax \equiv by ~[n]$?

    Merci !
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Si $c$ est premier avec $n$ cela doit fonctionner.

    $c$ est n'importe quel représentant de la classe $\overline{b}$ de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

    PS:
    La question, si je l'ai comprise, revient à donner une condition nécessaire et suffisante pour que $b$ soit inversible modulo $n$. Cette condition est bien connue: il faut et il suffit que $b$ soit premier avec $n$.
  • Light*
    Light*
    Non ma question était sur une éventuelle "bijection" entre $x$ et $y$ : à chaque $x$ on associe un unique $y$. Par exemple, si on a $2x \equiv y~[5]$, alors si $x=0 \rightarrow y=0$, $1 \rightarrow 2$ etc...

    Mais si, par exemple, on a $3x\equiv y~[6]$, ici $b$ est inversible car égale à $1$, mais il n'y a pas unicité car on doit choisir $y=0$ lorsque $x=0$ et lorsque $x=2$ (et $4$). Donc le fait que $b$ soit premier avec $n$ ne suffit pas...
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Tu rajoutes que "a" est premier avec $n$.
  • Light*
    Light*
    Ok merci Fin de partie :)

    Admettons ce résultat (je ne saurais le montrer...). Peut-on étudier le cas de quatre variables? Je me suis rendu compte que si on a :$-2x_1+3x_2 \equiv -y_1+3y_2~[9]$, alors il y a une bijection entre $(x_1,x_2)$ et $(y_1,y_2)$ :
    $(0,0) \rightarrow (0,0)$,
    $(1,0)\rightarrow (2,0)$
    etc...

    Mais il y a plein de cas où ce n'est pas le cas ! (Ah j'adore cette phrase ^^) Une idée du pourquoi du comment?

    Merci !
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    $\def\ZZ{\mathbb Z}$Soit $n$ un entier $>1$. Soit $k$ un entier $>0$. Soit $a=(a_1,\ldots,a_k)\in \ZZ^k$. On note $\bar x$ la classe de l'entier $x$ modulo $n$.
    On considère l'application :
    $$\begin{aligned}
    \bar\varphi_a : (\ZZ/n\ZZ)^k&\longrightarrow \ZZ/n\ZZ\\
    (\bar x_1,\ldots,\bar x_k)&\longmapsto \sum_{i=1}^k\bar a_i \bar x_i
    \end{aligned}$$
    Son image est $d\ZZ/n\ZZ$ où $d$ est le pgcd de $a_1,\ldots,a_k,n$.

    En conséquence :
    Soit $b=(b_1,\ldots,b_k)\in \ZZ^k$. Il existe une bijection $u: (\ZZ/n\ZZ)^k\to (\ZZ/n\ZZ)^k$ telle que $\bar\varphi_b\circ u=\bar\varphi_a$ si et seulement si le pgcd de $a_1,\ldots,a_k,n$ est égal à celui de $b_1,\ldots,b_k,n$.
  • Light*
    Light*
    Oh... c'est beau ! Merci GaBuZoMeu :D
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 45

AzothDeGeerMatricule_63fredaulycee2gerard0jelobreuil +39 Invités