G(3)
dans Arithmétique
Bonjour,
dans l'ouvrage de G.H. Hardy et E.M. Wright, "Introduction à la théorie des nombres", un chapitre revient sur les déterminations de $g(k)$ et $G(k)$ que l'on peut définir ainsi:
$g(k)$:la plus petite valeur telle que tout nombre s'écrit comme la somme de $g(k)$ puissances $k$-ièmes.
$G(k)$:"la plus petite valeur de $s$ pour laquelle il est vrai que tous les nombres assez grands, i.e tous les nombres à un nombre fini d'exceptions près, peuvent s'écrire comme somme de $s$ puissances $k$-ièmes."
Voici donc ce que l'on peut trouver dans l'ouvrage "agrémenté" de quelques commentaires personnels (que j'espère justes) et de deux questions restées sans réponses et qui paraîtront à beaucoup d'une banalité affligeante.
On note $C_s$ un nombre qui est somme de $s$ cubes positifs. Faisons parcourir à $z$ les valeurs $7, 13, 19...$ congrues à $1 \pmod 6$, et notons $\displaystyle I_z$ l'intervalle
\begin{equation}
\displaystyle \phi(z)=11z^9+(z^3+1)^3+125z^3 \leq n \leq 14z^9 = \psi(z).
\end{equation}
$\phi(z+6) \leq \psi(z)$ pour $z$ assez grand, de sorte que les intervalles $I_z$ "se chevauchent" et que tout $n$ assez grand appartient à un $I_z$.
On veut démontrer que tout $n$ assez grand est somme de $13$ cubes positifs à savoir $G(3) \leq 13$.
On commence par démontrer que tout $n$ de $I_z$ peut se mettre sous la forme
\begin{equation}
\displaystyle n=N+8z^9+6mz^3 \\
N=C_5, \quad 0<m<z^6.
\end{equation}
Puisque tout nombre positif est somme de 4 carrés, nous aurons alors $m=x_1^2 + x_2^2 + x_3^3 + x^4_4$, avec $0 \leq x_i < z^3$; et donc
\begin{equation}
n=N+8z^9+6z^3(x_1^2+x_2^2 + x_3^2 + x_4^2) \\
=N+ \sum_{i=1}^4\big((z^3+x_i)^3+(z^3-x_i)^3\big) \\
N \: \text{est une somme de 5 cubes et} \sum_{i=1}^4(•••) \: \text{est une somme de 8 cubes donc} \: \\
n=C_5+C_8=C_{13}.
\end{equation}
On sait que tout entier $n$ strictement positif peut s'écrire sous la forme $\displaystyle n=6N+r$, avec $N=0$ et $r$ parmi $0,1,2,3,4,5$.
Définissons donc $r, s$ et $N$ par
\begin{equation}
\displaystyle n \equiv 6r \pmod {z^3},\: \: (1 \leq r \leq z^3) \\
r \equiv s+4 \pmod 6, \: \: (0 \leq s \leq 5) \\
N=(r+1)^3+(r-1)^3+2(z^3-r)^3+(sz)^3.
\end{equation}
Alors $N=C_5$.
De plus, on a
\begin{equation}
1 \leq r \leq z^3, \\
0 \leq s \leq 5, \\
(r-1)^3+2(z^3-r)^3=r^3+3r^2+3r+1+2(z^9-3z^6r+3z^3r^2-r^3)\\
=2z^9-6z^6r+6z^3r^2-r^3+3r^2+3r+1 < 3z^9.
\end{equation}
Donc
\begin{equation}
0<N<(z^3+1)^3+3z^9+125z^3=\phi(z)-8z^9 \leq n-8z^9.
\end{equation}
de sorte que
\begin{equation}
8z^9<n-N<14z^9
\end{equation}
Or, $\displaystyle N \equiv (r+1)^3+(r-1)^3-2r^3=6r \equiv n \equiv n-8z^9 \pmod {z^3}.$
De plus, $\displaystyle x^3 \equiv x \pmod 6$ pour tout $x$, et donc
\begin{equation}
N \equiv r+1 + r -1 +2(z^3-r)+sz = 2z^3+sz \\
\equiv (2+s)z \equiv 2+s \equiv n-2 \\
\equiv n-8 \equiv n-8z^9 \pmod 6
\end{equation}
On a $N \equiv n-8z^9 \pmod {z^3}$ et $N \equiv n-8z^9 \pmod 6$ donc $n-N-8z^9$ est un multiple de $6z^3$. Ce qui démontre
\begin{equation}
n=N+8z^9+6mz^3, \: \: \forall n \in I_z.
\end{equation}
En revanche, je n'arrive pas à retrouver $\displaystyle 2z^3+zs \equiv (2+s)z \pmod 6$ à partir de $z^3 \equiv z \pmod 6$. Enfin je ne comprends pas pourquoi $2+s \equiv n-2 \pmod 6$. Cela provient-il de $\displaystyle r \equiv s+4 \pmod 6, \: \: (0 \leq s \leq 5)$ tel que défini plus haut ?
En vous remerciant pour d'éventuelles suggestions...
...
dans l'ouvrage de G.H. Hardy et E.M. Wright, "Introduction à la théorie des nombres", un chapitre revient sur les déterminations de $g(k)$ et $G(k)$ que l'on peut définir ainsi:
$g(k)$:la plus petite valeur telle que tout nombre s'écrit comme la somme de $g(k)$ puissances $k$-ièmes.
$G(k)$:"la plus petite valeur de $s$ pour laquelle il est vrai que tous les nombres assez grands, i.e tous les nombres à un nombre fini d'exceptions près, peuvent s'écrire comme somme de $s$ puissances $k$-ièmes."
Voici donc ce que l'on peut trouver dans l'ouvrage "agrémenté" de quelques commentaires personnels (que j'espère justes) et de deux questions restées sans réponses et qui paraîtront à beaucoup d'une banalité affligeante.
On note $C_s$ un nombre qui est somme de $s$ cubes positifs. Faisons parcourir à $z$ les valeurs $7, 13, 19...$ congrues à $1 \pmod 6$, et notons $\displaystyle I_z$ l'intervalle
\begin{equation}
\displaystyle \phi(z)=11z^9+(z^3+1)^3+125z^3 \leq n \leq 14z^9 = \psi(z).
\end{equation}
$\phi(z+6) \leq \psi(z)$ pour $z$ assez grand, de sorte que les intervalles $I_z$ "se chevauchent" et que tout $n$ assez grand appartient à un $I_z$.
On veut démontrer que tout $n$ assez grand est somme de $13$ cubes positifs à savoir $G(3) \leq 13$.
On commence par démontrer que tout $n$ de $I_z$ peut se mettre sous la forme
\begin{equation}
\displaystyle n=N+8z^9+6mz^3 \\
N=C_5, \quad 0<m<z^6.
\end{equation}
Puisque tout nombre positif est somme de 4 carrés, nous aurons alors $m=x_1^2 + x_2^2 + x_3^3 + x^4_4$, avec $0 \leq x_i < z^3$; et donc
\begin{equation}
n=N+8z^9+6z^3(x_1^2+x_2^2 + x_3^2 + x_4^2) \\
=N+ \sum_{i=1}^4\big((z^3+x_i)^3+(z^3-x_i)^3\big) \\
N \: \text{est une somme de 5 cubes et} \sum_{i=1}^4(•••) \: \text{est une somme de 8 cubes donc} \: \\
n=C_5+C_8=C_{13}.
\end{equation}
On sait que tout entier $n$ strictement positif peut s'écrire sous la forme $\displaystyle n=6N+r$, avec $N=0$ et $r$ parmi $0,1,2,3,4,5$.
Définissons donc $r, s$ et $N$ par
\begin{equation}
\displaystyle n \equiv 6r \pmod {z^3},\: \: (1 \leq r \leq z^3) \\
r \equiv s+4 \pmod 6, \: \: (0 \leq s \leq 5) \\
N=(r+1)^3+(r-1)^3+2(z^3-r)^3+(sz)^3.
\end{equation}
Alors $N=C_5$.
De plus, on a
\begin{equation}
1 \leq r \leq z^3, \\
0 \leq s \leq 5, \\
(r-1)^3+2(z^3-r)^3=r^3+3r^2+3r+1+2(z^9-3z^6r+3z^3r^2-r^3)\\
=2z^9-6z^6r+6z^3r^2-r^3+3r^2+3r+1 < 3z^9.
\end{equation}
Donc
\begin{equation}
0<N<(z^3+1)^3+3z^9+125z^3=\phi(z)-8z^9 \leq n-8z^9.
\end{equation}
de sorte que
\begin{equation}
8z^9<n-N<14z^9
\end{equation}
Or, $\displaystyle N \equiv (r+1)^3+(r-1)^3-2r^3=6r \equiv n \equiv n-8z^9 \pmod {z^3}.$
De plus, $\displaystyle x^3 \equiv x \pmod 6$ pour tout $x$, et donc
\begin{equation}
N \equiv r+1 + r -1 +2(z^3-r)+sz = 2z^3+sz \\
\equiv (2+s)z \equiv 2+s \equiv n-2 \\
\equiv n-8 \equiv n-8z^9 \pmod 6
\end{equation}
On a $N \equiv n-8z^9 \pmod {z^3}$ et $N \equiv n-8z^9 \pmod 6$ donc $n-N-8z^9$ est un multiple de $6z^3$. Ce qui démontre
\begin{equation}
n=N+8z^9+6mz^3, \: \: \forall n \in I_z.
\end{equation}
En revanche, je n'arrive pas à retrouver $\displaystyle 2z^3+zs \equiv (2+s)z \pmod 6$ à partir de $z^3 \equiv z \pmod 6$. Enfin je ne comprends pas pourquoi $2+s \equiv n-2 \pmod 6$. Cela provient-il de $\displaystyle r \equiv s+4 \pmod 6, \: \: (0 \leq s \leq 5)$ tel que défini plus haut ?
En vous remerciant pour d'éventuelles suggestions...
...
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Réponses
Pour ta deuxième question, on a par définition $n \equiv r \pmod 6$ et donc on a bien $n-2 \equiv r-2 \equiv s+2 \pmod 6$.
df