Crible suite de nombres premiers
dans Arithmétique
Bonjour,
Je souhaitais savoir s'il existait un moyen connu de déterminer grâce à une formule ou un crible la suite de nombres premiers p tels que m=(p+1)/4, où les nombres m soient aussi premiers (cf la suite suivante https://oeis.org/A062737).
En vous remerciant pour vos réponses,
Bien cordialement.
Je souhaitais savoir s'il existait un moyen connu de déterminer grâce à une formule ou un crible la suite de nombres premiers p tels que m=(p+1)/4, où les nombres m soient aussi premiers (cf la suite suivante https://oeis.org/A062737).
En vous remerciant pour vos réponses,
Bien cordialement.
Réponses
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Personne?
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Bonjour,
J'ai déterminé un crible permettant de trouver uniquement l'ensemble des nombres premiers p tels que m=(p+1)/4, où les nombres m sont également premiers (cf la suite https://oeis.org/A062737).
En effet, si on s'intéresse à l'ensemble des nombres premiers, et qu'on y enlève successivement les nombres premiers appartenant aux suites suivantes:
a(n)=8n+7, avec n>=1,
b(n)=12n+11, avec n>=2,
c(n)=16n+15, avec n>=3,
d(n)=20n+19, avec n>=4,
et ainsi de suite...
Alors on obtient une suite commençant par les nombres premiers suivants:
2,3,5,7,11,13,17,19,29,37,41,43,53,61,67,73,89,97,101,109,113,137...
A cette suite de nombres premiers, on choisit de ne retenir que les nombres premiers appartenant à la suite 4n+3, [0, +?]
On obtient donc une suite commençant par les nombres premiers suivants:
3,7, 11, 19, 43, 67, 163, 211, 283, 331, 523, 547, 691, 787, 907, 1051, 1123, 1171, 1531, 1723, 1867, 2011, 2083...
Chaque nombre premier p de cette suite est tel que: p+1=4m, où m est également toujours un nombre premier, sauf exception du premier terme de la suite, à savoir 3 (car 3+1=4x1, où 1 n'est pas premier).
J'imagine que ce crible doit déjà être connu, car il est très simple. Je l'ai testé sur les 5000 premiers nombres premiers et il fonctionne.
Je vous prie de bien vouloir m'aider à vérifier ce résultat sur des nombres plus importants. Est-il démontrable?
Bien cordialement.
C.W -
En général, l'OEIS est bien informée des façons de générer une suite d'entiers.
La page mise en lien contient au moins deux méthodes de génération de cette suite si je lis bien. -
Bonjour,
Du coup est-ce que la méthode que je propose fonctionne également?
Merci,
Bien cordialement. -
il te suffit simplement de vérifier si ils sont de la forme 60k + p puis regarder la famille de premier m qui intervient non ...?, où p est bien de la forme 4k-1 soit p+1 /4
p=53 ??? 53+1 n'est pas div par 4....
ensuite je doute que m soit dans tous les cas un nombre premier, lorsque les écarts entre premiers vont augmenter... ou j'ai loupé quelque chose....
par exemple pour p = 60k+7 on a bien m =17 , puis pour 127 on aura m = 32,
donc il faut la suite arithmétique 17 de raison 30.
mais 307 donne m =77 non premier, 307 ne figure pas dans ta suite P = 4n - 3 ... pourquoi...?
ce n'est peut être qu'une question d'écart qui coïncide pour l'instant avec 547, 787, 907 +120k ..> 1867
.........................................>137 ; 197, 257 .....> + 60k ; puis 30k pour ............................. .........> 467
il faudrait déjà vérifier sur ces deux familles P = 60k+7 et m = 30k +17 pour voir .....
tu dis que tu retiens que les premiers P = 4n - 3 de ta première suite .... -
Leg,
tu n'as pas tout lu : "on choisit de ne retenir que les nombres premiers appartenant à la suite 4n+3".
Et 53 n'appartient pas à cette suite.
Ton obsession pour les 60 n+ p t'empêche de vraiment lire ce que l'auteur a écrit.
Cordialement. -
gerard0
rassure toi je ne suis pas obsédé par les 60k ou 30k ou n...
j'ai bien compris qu'elle ne retient de la première liste que les m = 4n+3 .
Mais la la suite de premier 4n+3 donne 71 où m =17 pourquoi il ne figure pas ou pourquoi le crible ne le donne pas ...?
Par ce qu'ils ne sont pas congrus à 1,4 ou 7 modulo 9 ...? mais il y a 11...
d'ailleurs je le dit pour 307...etc
Donc, comment fonctionne le crible. qui donne cette suite de premiers
3,7, 11, 19, 43, 67, 163, 211, 283, 331, 523, 547, 691, 787, 907, 1051, 1123, 1171, 1531, 1723, 1867, 2011, 2083...?
..?
elle peut déjà vérifier avec la famille de premier 7 modulo3 et les m = 17modulo 30 premier.
mais si son crible sature pour p = 9 chiffres .....ou qu'on ne peut le démontrer....il n'y aura plus d'intérêt....
voila deux listes de ces deux familles de premiers pour déjà vérifier les premiers P de la famille 7 modulo 30 avec son crible.. -
C'est dit dans le premier message, il te suffit de lire attentivement, c'est très bien expliqué.
-
non gerard0....!
pour la première suite peut être
mais pas la deuxième comment elle les retient ...
c'est une suite arithmétique de raison 24 à partir de P = 19 où il y a une infinité de premiers....4n+3....
je suppose que tu n'en sais rien....!
car qu'elle sont les prochains termes >2083 si c'est un crible.... et si tu connais ce crible....?
la seul chose qui t'intéresse c'est la critique négative...mais pas de lui dire si c'est démontrable, d'ailleurs je pense que tu ne le pourrais pas...
Si ce n'est uniquement le fait de les trier dans la première suite je ne vois pas en quoi c'est un crible.... -
A quoi sert de regarder la suite si tu ne lis pas ce qu'elle dit !
Décidément, tu ne lis pas, inutile de poser des questions dont tu as déjà la réponse ...
"c'est une suite arithmétique de raison 24 à partir de P = 19 où il y a une infinité de premiers....4n+3...." ???? Tu racontes n'importe quoi !!
"je suppose que tu n'en sais rien....! " Moi je lis et je trouve la même chose que Lapetite123. -
tu trouves.... tu critiques ..... mais tu est incapable de démontrer son crible...!
d'autant que tu es incapable de trouver sa deuxième suite en partant de la première....§
car comment tu peux trouver 283,331, 523 ou m = 71,83, 131 qui sont écarté de la première suite
dixit ses explications ...où on écarte les nombres premiers des suites arithmétiques qu'elle a définie...
tu racontes n'importe quoi !!! tu veux faire celui qui sait tout mais pas grand chose ...fin de la polémique ...!
Montre si tu en es capable de résoudre sa question qui est le sujet : est ce que son crible est démontrable !
les trois premières suites arithmétiques de nombres premiers écarté.
15 23 31 39 47 55 63 71 79 87 95 103 111 119 127
23 35 47 59 71 83 95 107 119 131 143 155 167 179 191
31 47 63 79 95 111 127 143 159 175 191 207 223 239 255 -
Bonsoir,
Je vous remercie pour vos retours.
LEG, je suis désolée mais je crois que vous n'avez pas bien compris mon message.
Serait-il possible de tester ce crible sur des nombres plus grands? Existe-t'il des contre-exemples?
Je ne sais pas s'il est évident à démontrer.
Bien cordialement,
C.W -
Serait-il possible de tester ce crible sur des nombres plus grands?/quel crible...?
extraire des nombres premiers de tes suites arithmétiques pour barrer les nombres premiers de la suite des nombres premiers successifs...et ensuite tester ceux qui sont de la forme (P+1)/4 = q premier...
tu n'as pas l'impression qu'il y a plus simple....?
quel sont les suites de nombres premiers qui satisfont : (P+1)/4 = q premier...,??? sans passer par tes suites arithmétiques que tu considères comme un crible.... -
Il existe des logiciels de calcul exact sur des grands nombres, mais je n'ai pas le temps de faire ce genre de travail. Et les spécialistes de théorie des nombres du forum ont l'air d'être en vacances. Mais tu peux essayer d'apprendre à te servir de logiciels formels, comme Xcas ou le vieux Maxima, sans parler des payants comme Maple et Mathematica. mais le plus adapté à ce que tu veux faire est probablement Pari/GP avec lequel de nombreuses idées ont été testées sur ce forum.
Cordialement. -
Un programme sous GP/PARI pour trouver des grands nombres premiers $p$ tels que $4p-1$ est aussi premier.
for(i=0,100,p=nextprime(10^(20+i)+1);if(isprime(4*p-1)==1,print(p)))
-
@lapetite123
Reprenons nos esprits. Tout d'abord, je pense que tu ne devrais pas utiliser la terminologie ``crible'' qui a une certaine connotation.
Que réalises tu en supprimant les nombres premiers de la forme $8n + 7$ avec $n \ge 1$, $12n + 11$ avec $n \ge 2$ ...etc.. ?
Réponse : tu supprimes les nombres premiers de la forme $4kn + 4k-1$, avec $k \ge 2$ et $n \ge k-1$. Mais
$$
4kn + 4k-1 = 4k(n+1) - 1 = 4km - 1 \quad \hbox {en ayant posé $m = n+1 \ge k \ge 2$}.
$$
Mais c'est quoi un nombre $q$ de la forme $q = km$ avec $m \ge k \ge 2$ ? Réponse : c'est tout simplement un nombre composé.
Bilan : tu supprimes de ta liste des nombres premiers de la forme $4q-1$ avec $q$ composé. Donc ceux qui restent, et qui veulent bien être de la forme $4 \times \text{truc}-1$, sont tels que truc est premier. -
Ok c'est logique. Merci Claude.
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Bonjour!
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