Une nouvelle suite

La suite continue par :
721, 961, 5125, 6833, 4555, 6073, 32389, 172741, 230321, 153547, 818917, 4367557, 5823409, 7764545, 5176363, 6901817, 18404845, 98159173, 523515589 et ça continue jusqu'à des nombres de plus de 10^7 chiffres ou plus si vous voulez.
Le programme SCRIPT sous PFGW64 pour plus de nombres.

SCRIPT
DIM i,1
DIM x,1
DIM y
DIM n
OPENFILEOUT myf,out.txt
WRITE myf,x
LABEL loop
IF i>1000 THEN END
IF (x+1)%3==0 THEN SET y,(x+1)/3
IF (x+1)%3==0 THEN SET n,-1
IF (x+1)%3==0 THEN GOTO a
SET y,(x+2)/3
SET n,0
GOTO b
LABEL a
SET n,n+1
IF (((6*y-2)*4^n-1)/3)%3==0 THEN SET n,n+1
SET x,((6*y-2)*4^n-1)/3
WRITE myf,x
SET i,i+1
GOTO loop
LABEL b
SET n,n+1
IF (((3*y-2)*4^n-1)/3)%3==0 OR ((3*y-2)*4^n-1)==3 THEN SET n,n+1
SET x,((3*y-2)*4^n-1)/3
WRITE myf,x
SET i,i+1
GOTO loop

C'est une suite inverse de Collatz pour les plus petits nombres impairs possibles non multiple de 3.

Pour être précis:
La conjecture de Collatz est que toute suite de Collatz atteint 1.
On part d'un nombre entier positif quelconque x(1),
la suite de Collatz est définie par les deux règles:
1- si le nombre est pair le nombre suivant x(i+1) = x(i)/2
2- si le nombre est impair le nombre suivant x(i+1)=3*x(i)+1
Tout nombre d'une suite de Collatz ne dépend que de son prédécesseur.
En fait la règle 1- devrai s'écrire si le nombre est pair de la forme (2*n+1)*2^k on divise le nombre pair (2*n+1)*2^k par 2^k, ainsi tout nombre pair a un successeur unique impair et tout nombre impair a un successeur unique pair.
Il en découle que tout nombre impair a un descendant impair unique mais peut avoir une infinité d'ascendants impairs ou pairs.
Une suite de Collatz ne peut pas avoir qu'un seul descendant impair multiple de trois et ce descendant est le résultat de la division de 3*(2*n+1)*2^k par 2^k, ensuite il ne peut plus exister de descendant impair multiple de 3.

Pour démontrer la conjecture de Collatz supposons le problème résolu, toute suite de Collatz se termine par 1, si il est possible partant de 1 de définir toute suite inverse de Collatz qui peut atteindre tout nombre impair quelconque la démonstration est faite.

Soit 3*n-2 et 3*n-1 tout nombre impair non multiple de 3, n entier positif de 1 à l'infini.
Il est facile de démontrer que tout ascendant impair de 3*n-2 est de la forme:
((3*n-2)*4^k-1)/3 car multiplié par 3 +1 et divisé par 4^k on obtient 3*n-2
Il est facile de démontrer que tout ascendant impair de 3*n-1 est de la forme:
((3*n-1)*2^(2*k-1)-1)/3 car multiplié par 3 +1 et divisé par 2^(2*k-1) on obtient 3*n-2
pour tout nombre entier positif k de 1 à l'infini.
Ce qui est remarquable c'est que pour n entier positif de 1 à l'infini et k entier positif de 1 à l'infini tout nombre impair est représenté une fois et une fois seulement par l'une des 2 équations ((3*n-2)*4^k-1)/3 ou ((3*n-1)*2^(2*k-1)-1)/3 et tout nombre impair non multiple de 3 est représenté une fois et une fois seulement par les équations 3*n-2 ou 3*n-1.
Si on commence une suite inverse de Collatz par 1 les ascendants de 1 sont donnés par l'équation ((3*1-2)*4^k-1)/3.Si k=1 ou si k est multiple de 3 la suite n'a plus d'ascendant impair possible, les ascendants possibles sont pour k>1 et non multiple de 3.
Le pénultième sera donc égal à (4^k-1)/3, k>1 et non multiple de 3, soit les nombres 5, 85, 341, 1365, 5461, 21845 ......, soit x le pénultième nombre choisi, l'antépénultième y sera de la forme (x*4^k-1)/3 si x est de la forme 3*n-2 ou (x*2^(2*k-1)-1)/3 si x est de la forme 3*n-1,
si y est multiple de 3 la suite n'a plus d'ascendant impair, on choisi donc un y non multiple de 3 et ainsi de suite.
Donc une suite inverse se termine par un nombre impair multiple de 3 et diverge vers (3*(2*n+1)*2^k ou diverge vers tout nombre impair infini multiple de 3 ou non, donc toute suite de Collatz converge vers 1 aussi grand soit le nombre initial choisi.

Donc une suite inverse se termine par un nombre impair multiple de 3 et diverge vers (3*(2*n+1)*2^k ou diverge vers tout nombre impair infini multiple de 3 ou non, donc toute suite de Collatz converge vers 1 aussi grand soit le nombre initial choisi.
Mea maxima culpa, j'aurai du écrire: toute suite inverse de Collatz diverge vers tout nombre pair de la forme (3*(2*n+1))*2^k ou tout nombre impair de la forme 3*n-2 ou 3*n-1.
Mon erreur réparée ( personne ne l'avait relevée ), je démontre cette dernière affirmation.
Il est connu que tout nombre entier positif de moins de 20 chiffres point de départ d'une suite de Collatz va conduire à 1 et donc au cycle trivial..
Quelque soit le nombre de 19 chiffres qui commence une suite de Collatz il est de la forme (2*n+1)*2^k si pair ou (2*n+1) si impair, ne sont concernés par la démonstration que les nombres impairs de la forme 3*n-2 ou 3*n-1 et leurs prédécesseurs dans une suite de Collatz.
Les suites inverses de Collatz commençant par 1 divergent toutes vers un nombre de 19 chiffres puisque toutes les suites de Collatz commençant par un nombre de 19 chiffres se terminent par 1.
Il est évident que chaque nombre impair 3*n-2 a pour prédécesseurs impair tout nombre impair x = ((3*n-2)*4^k-1)/3 et chaque nombre impair 3*n-1 a pour prédécesseurs impair tout nombre impair y = ((3*n-1)*2^(2*k-1)-1)/3.
Si on choisi les valeurs de x ou y non multiple de 3 on aura une suite qui aura toujours un prédécesseur tel que défini qui continue à diverger vers des nombres impairs de plus en plus grands, si on choisi x ou y multiple de 3 la suite inverse diverge vers (3*(2*n+1)*2^k.
Donc toute suite de Collatz converge vers 1.