Nombres premiers

Bonjour,

Qu'as-tu essayé ? As-tu des pistes ?

Une solution :

Supposons $n$ non premier en écrivant $n=ab$ avec $a,b > 1$.

On a $3^n-2^n=3^{ab}-2^{ab} = (3^a-2^a)(3^{a(b-1)} + 2^a\times 3^{a(b-2)} + \dots + 3^a\times 2^{a(b-2)} + 2^{a(b-1)})$. Par hypothèse, $3^n-2^n$ s'écrit $p^{\alpha}$ pour un certain nombre premier $p$. Les deux facteurs ci-dessus étant $> 1$ (grâce au fait que $a > 1$ et $b > 1$), $p$ divise les deux, on a donc d'un côté $3^a-2^a \equiv 0 \pmod p$, et donc $$3^{a(b-1)} + 2^a\times 3^{a(b-2)} + \dots + 3^a\times 2^{a(b-2)} + 2^{a(b-1)} \equiv b2^{a(b-1)} \pmod p$$ qui ne peut être nul que si $p$ divise $b$ ou $p=2$. Or $p=2$ est exclu car $p$ divise $3^a-2^a$, donc on a nécessairement $b \equiv 0 \pmod p$.

La décomposition $n=ab$ choisie étant arbitraire, on en déduit que $n$ a pour seul diviseur premier $p$, c'est donc une puissance de $p$, disons $p^m$. Et le couperet tombe : d'après Fermat $3^{p^m} - 2^{p^m} \equiv 3-2 \equiv 1 \pmod p$, contradiction.

Comme $3^a \equiv 2^a$ modulo $p$, tu peux, dans la somme remplacer partout $3^a$ par $2^a$.

Cordialement.