Nombre de diviseurs

Oui

Salut.
Tu peux commencer par calculer $\sqrt[k]{x}$ et utiliser l'estimation connue du nombre de nombres premiers inférieurs à $\sqrt[k]{x}$.

Pour $n=\prod_{i=1}^rp_i^{v_i}$, un diviseur de $n$ est décrit par le choix de l'exposant $m_i$ de chaque $p_i$ entre $0$ et $v_i$, de sorte que le nombre de diviseurs de $n$ est $\prod_{i=1}^r(v_i+1)$. Les entiers ayant $d$ diviseurs est petit si $d$ a peu de facteurs premiers. Par exemple, les seuls entiers ayant $d=17$ diviseurs sont de la forme $p_1^{16}$ avec $p_1$ premier, qui sont très peu nombreux : jusqu'à $x$, on en a à peu près $\pi(x^{1/16})\sim\frac1{16}\cdot\frac{x^{1/16}}{\log x}$.

Pour $d=16=2^4$ en revanche, on a entre autres tous les $p_1p_2p_3p_4$ dont on peut estimer le nombre. Pour cela, un mot-clé : nombre presque premier. D'après Landau, le nombre de nombres inférieurs à $x$ qui ont au plus $k$ diviseurs premiers (distincts ou pas) est estimé par \[\pi_k(x) \sim \frac{x}{\log x} \times \frac{(\log\log x)^{k-1}}{(k - 1)!}.\]On se convainc que c'est aussi une estimation du nombre de nombres ayant $k$ diviseurs premiers distincts. Cela donne environ $\frac{x}{\log x} \cdot \frac{(\log\log x)^{3}}6$ nombres plus petits que $x$ avec $16$ diviseurs.

Ce que j'ai dit ci-haut ne mène à rien. Mais j'avais donné une formule donnant le nombre de diviseurs à $m$ facteurs premiers d'un entier naturel $n$ dans un fil en du forum qui s'appelle: $\text{equation diophantienne}\, 2kk' + k + k ' = \dfrac{p-1}{2}$.

Normalement on peut l'utiliser pour avoir une valeur exacte de ce que tu demandes.
Faut aller le voir.