Série de Dirichlet

Une réponse rapide...

On choisit un entier $A > 1$, décomposé sous la forme $A = a_1 \dotsb a_r$ avec $a_j \geqslant 2$. Pour tout $s = \sigma + it \in \mathbb{C}$, on pose
$$P(s) := \prod_{j=1}^r \left( 1 + \frac{\sqrt{a_j}}{a_j^s} \right).$$
On voit alors que, si $P(s) = 0$, alors $\sigma = \frac{1}{2}$. On prend la série de Dirichlet $F(s) = \zeta(s) P(s)$. Ainsi, si $s$ est un zéro de $F$, ou bien il est un zéro de $\zeta$, ou bien il est sur la droite $\sigma = \frac{1}{2}$. On montre de plus que $F$ est périodique de période $A$.