La somme des restes de la division
dans Arithmétique
Salut ! J'ai un exercice et j'aimerais que vous puissiez m'aider
On divise un entier n par les nombres 1, 2, 3, ... , n et on note la somme des restes de la division par ces nombres par r(n). Prouver que pour tout n on a r(n) = r(n+1).
On divise un entier n par les nombres 1, 2, 3, ... , n et on note la somme des restes de la division par ces nombres par r(n). Prouver que pour tout n on a r(n) = r(n+1).
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Réponses
Alors n=iq_i+(r_i+1)
Si n est un multiple de i alors r_1+1=i .Sinon r_i+1 est le reste quand n est divisé par i .
Je me bloque complètement ici et je ne sais pas quoi faire.
Tu es sûr de ton énoncé ? Pour n=4, je trouve r(n)=1 et r(n+1)=4.
Cordialement.
J'ai posé que n-1=iq_i +r_i avec 0=<r_i<i et 1=<i=<n-1
Alors n=iq_i+(r_i+1)
Si n est un multiple de i alors r_1+1=i .Sinon r_i+1 est le reste quand n est divisé par i .
Après j'ai trouvé que r(n) = sigma (r_i+1) { i ne divise pas n}
<=> r(n)= sigma{i=1->i=n-1}(r_i+1) -sigma(d){ d|n}
<=>r(n)=r(n-1)+(n-1) -sigma(d)
Si n=2^k , alors la somme des diviseurs de n inférieurs de n est :
1+2+......+2^(k-1)=2^k-1
=> r(2^k)=r(2^k-1)
Il semble*** que $r(n)=r(n-1)$ lorsque $n>1$ est une puissance de $2$.
***Edit : effectivement la preuve n'est pas trop difficile.
"Pour tout n", comme tu l'as écrit n'a rien à voir avec la traduction en français de "for infinitely many positive integer [k] n".