Produit et somme

Light*
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dans Arithmétique
Bonsoir à toutes et à tous,

J'aurais trois petites questions à vous poser ^^ :

1) Est-ce qu'à partir d'une loi multiplicative (d'une multiplication quoi), on peut toujours retrouver la/une loi additive qui la sous-tend? Comme la multiplication et l'addition pour les entiers par exemple.
2) Si oui, est-ce que l'existence d'un élément neutre pour cette multiplication implique forcément l'existence d'un élément neutre pour la (les) addition(s) ?
3) Et la plus importante : est-ce que ce que je vous demande a un sens mathématiquement parlant?

Merci !

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Si tu dis multiplicative, alors l’addition est supposée donc la question n’a pas de sens. Il suffit de lire la définition d’une loi multiplicative.
    Si tu dis loi de composition, tu es libre de la définir sans avoir défini d’addition. Par exemple soit E l’ensemble qui contient les trois éléments : bleu, blanc, rouge. On définit la loi de composition interne de E x E dans E telle que : bleu bleu=bleu, blanc blanc=blanc, rouge rouge=rouge, bleu blanc= rouge, bleu rouge=blanc, blanc bleu=rouge, blanc rouge=bleu, rouge blanc=rouge, rouge bleu=rouge.
    On n’a pas défini d’addition et s’en porte pas plus mal.

    Non ?
  • Light*
    Light*
    Si tu dis multiplicative, alors l’addition est supposée donc la question n’a pas de sens

    Bah je pensais aux matrices, muni de la loi produit (c'est une multiplication !), et elle ne découle pas de la traditionnelle addition des matrices. D'où ma question!

    Pour le reste, on ne s'en porte pas plus mal effectivement :)
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    La multiplication des matrices que tu mentionnes est la loi de compossition interne des endomorphismes $ u \circ v.$
    La multiplication d’une matrice pas un scalaire est associée à l’addition des matrices.
  • Light*
    Light*
    Je sais mais si l'on occulte le côté endomorphisme et que l'on prend une matrice que comme une matrice, c'est un produit ! Enfin bref, ce n'est sûrement qu'une incompréhension de ma part.

    Et puis, après avoir réfléchi, je me suis rendu compte qu'à partir du moment où on multipliait par un nombre réel non rationnel, on abandonnait complètement l'addition...
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