Énigme du père et de ses 9 enfants

Frydman Charles · August 2018

J’avais lu dans les pages centrales de Nice Matin du 12 août 2018, une énigme analogue,
, avec un entête qui présage de la difficulté de l'énigme, l'énigme est posée par universal jeux :

QI supérieur

Esteban , né le 22 novembre est le père de cinq garçons et de quatre filles . Tous les enfants ont le même écart d'âge . En 2011, la somme des carrés des âges des enfants est égale au carré de l âge de Esteban. Quel âge à Esteban ?

Et la solution ci après :

Ses enfants sont âgés de, 2,5,8,11,14,17,20,23 et 26 ans. Si l’on calcule les carrés de ces âges, nous obtenons 2304 qui est le carré de 48. Esteban à 48 ans le 22 novembre 2011 .

.......
La solution de l'énigme est loin d’être simple ! Mais si vous avez des idées plus simples...

Ma mise en équation, avec la contribution d’un ami parisien :

a l’age du plus jeune
am l’age du 5ème enfant
e l'écart l’age, donc am=a+4e
es l’age d’Esteban

9am²+60e²=es²
ou
3 (3am²+20e²)=es²
Si on décompose es² en facteurs premiers , es² est un multiple de 3 qui ne peut être qu’à une puissance paire puisque qu’il s’agit d’un carré.

On peut donc écrire es² sous la forme es²=3²x²
3(3am²+20e²)=3²x²
soit
(3am²+20e²)= 3x²
Donc
20e²=3 (x²-am²)
Si on limite es à 100 ans
am=a+4e
or a > ou = 1
on a donc en remplaçant am par a dans la 1ere équation
9am²+60e²=es²
68e² <3333
Donc e est inférieur à 7
Or nous avons d'après l'équation 20e²=3(x²-am²), qui peut s'écrire 2²5e²=3(x²-am²)
en décomposant en facteurs premiers le premier membre , e² est nécessairement un multiple de 3 d'après le 2ème membre, de 3 à une puissance paire puisqu'il s'agit d'un carré. Entre 1 et 7 donc.
Soit e=3 ou e=6
Pour e=3
(x-am)(x+am)=60
Soit
2*30,3*20,4*15,5*15 ou 6*10
Le produit de deux facteurs f1 et f2
f1=x-am
f2=x+am
on aboutit à 2 équations
Soit 2*am=f2-f1
f2-f1 pair, 2 solutions
f2=30, f1=2
Soit am=14
L'age du 5ème enfant est 14 ans
a=2 le plus jeune a 2 ans
es=48 Esteban à 48 ans
on trouve la solution Nice Matin
CQFD
ou f2=10 f1=6
Soit am=2
Or am doit être supérieur à 5
même raisonnement pour e=6
La solution est alors double, Esteban à 96 ans, la solution est un peu limite en âge et pas proposée par Nice Matin.

Fly7 · August 2018

e=écart d'âge
k=âge du premier enfant
a=âge du père
9= nombre denfants $$
\sum_k^{k-1+9}ek^2=a^2
$$ $\dfrac{(k+8)(k+7)(2k+15)}{6}=\dfrac{a^2}{e}$
Sans certitude.
Par contre je ne sais pas résoudre la seconde équation.
PS: FAUX mais dans l'idée.

Rescassol · August 2018

Bonjour,

Soit $a-4r, ......, a, ......, a+4r$ les âges des enfants et $b$ celui du père. Alors $9a^2+60r^2=b^2$.
$b$ est divisible par $3$, soit $b=3c$ donc $3a^2+20r^2=3c^2$.
$r$ est divisible par $3$, soit $r=3t$ donc $a^2+60t^2=c^2$.

Le cas $t=1$ mène à la solution de Nice Matin.
A vue de nez, $t=2$ doit conduire à la seconde solution de Charles.
Et ensuite, les nombres doivent dépasser les valeurs raisonnables.
Je n'ai pas cherché plus.

Cordialement,

Rescassol

Sylvain · August 2018

Pour $ t=2 $ on a effectivement 96 ans pour Esteban car 32^2=1024 et 1024-240=784=28^2.

Sylvain · August 2018

Par contre la formulation "tous les enfants ont le même écart d'âge" est curieuse : pour moi ça veut dire que pour toute paire d'enfants distincts $ (x,y) $ on a âge(x)-âge(y)=constante et même de cela on déduit âge(x)-âge(y)=âge(y)-âge(x)=0 et alors l'accouchement a dû être particulièrement pénible...

Fly7 · August 2018

Cette fois ci c'est la bonne.
$e=$ écart d'âge
$k=$ âge du premier enfant benjamin.
$a=$ âge du père
$9= $nombre d'enfants
\begin{align*}
\sum_{i=0}^{9-1}(k+ie)^2&=a^2 \\
\sum_{i=0}^{9-1}k^2+2kie+(ie)^2&=a^2 \\
9k^2+72ke+204e^2&=a^2
\end{align*}
Par contre je ne sais pas résoudre la seconde équation.
Du coup comme la formule est généralisée, il est possible d’élargir l’exercice à $x$=nombres d'enfants.

Merci : AD
[À ton service. :-) AD]

Frydman Charles · August 2018

C’était ma première idée d'équation, avec d’autres notations. Mais le terme en ke complique les choses. Je pensais écrire un programme en basic pour résoudre l'équation , avec de nombreuses itérations. Avec les limites trouvées, le programme aurait balayé toutes les possibilités , k=1 à 34, et e=1 à 7 , soit 238 itérations au maximum !

Fly7 · August 2018

Cas particulier pour un écart d'age e=0 la mère accouche d’octuplés difficile mais possible.
$9k^2=a^2$
Esteban pourrai avoir 3 ans ou 6 ans ou 9 ans ou 12 ans ou tout multiples de 3.
Si il n'y a pas d’autres solutions que tout les multiples de 3, en prouvant que $72ke+204e^2=0 \mod3$ se qui me semble être vrais.
Dans la mesure ou accoucher d’octuplés pour une femme est possible, être fécond a l'age de 12 ans pour un homme.
Esteban pourrai avoir entre 12ans+9 mois se qui reviens a 15 ans et multiples de 3 jusqu’à l'age du premier home reconnu en tant que tel, décédé avant l'homme le plus âgée. Mbah Gotho était un Indonésien âgé de 147 ans.
turut berduka cita.

Sneg · August 2018

Bonjour à tous,

D'après ce que je lis sur Internet, Universal Jeux est spécialisé dans l'édition de livres. On peut alors imaginer que l'énigme proposée au message initial a été tirée d'un livre.

Pour résoudre cette énigme sans limitation de temps puisqu'elle serait tirée d'un livre, point n'est besoin d'avoir un "$\textit{QI supérieur}$" (Voir message initial). Il suffit aux moins férus de mathématiques de passer en revue toutes les possibilités, patiemment et dans l'ordre, en supposant que l'âge d'Esteban ne peut dépasser 122 ans, l'âge de la doyenne officielle de l'humanité, Jeanne Calment, au moment de son décès.

Par chance, dans l'ordre croissant (c'est-à-dire en partant du cas où les enfants auraient 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 et 8 ans, puis 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 et 16 ans, puis 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 et 24 ans, etc...), la solution tombe dès la 19ème possibilité. Avec de quoi écrire, une simple calculette de base et un peu d'organisation, cela ne demande pas plus de 30 minutes de recherche. Pour une énigme, ça reste tout à fait raisonnable.

(Maintenant, c'est vrai que, si on veut s'assurer par cette méthode qu'il n'y a pas d'autre solution, cela prend plus de temps. Comme dit plus haut dans le fil, il y a une seconde solution.)

Fly7 · August 2018

Gil Bill
Ça exige un enfant de 0 ans?!
Avez- vous pensé au cas où tous les enfants ont le même âge ?
C'est possible s'ils ont tous le même écart d'âge qui est 0.
Pour le QI je suis vraiment déçu mais pas résigné.

Sneg · August 2018

Fly7,

Pour moi, un enfant qui n'a que quelques mois a "0" an, mais personne n'est obligé d'être d'accord avec moi.

Je n'ai pas envisagé le cas d'un écart d'âge de 0 an entre les enfants, car je ne connais pas de cas où une femme aurait mis au monde en un seul accouchement 9 enfants ayant tous survécu au moins deux ans (sinon l'âge d'Estéban serait de 0 ou 9 ans, ce qui n'est pas vraisemblable).

Maintenant, on pourrait envisager deux accouchements en une seule année. Cela reste possible. L'écart d'âge entre les enfants serait inférieur à 1 an, donc égal à 0 an (si l'on compte en années, et pas en mois).

Au fond, tout ceci me fait penser que l'énoncé de l'énigme manque de précision.

Sneg · August 2018

Cela dit, deux accouchements en une même année, cela ferait des naissances qualifiées "d'extrème prématurité". Autant laisser tomber cette éventualité.

Sneg · August 2018

En même temps, les mères des 9 enfants d'Estéban pourraient être différentes les unes des autres et accoucher la même année. Voilà qui serait plus "réaliste" (avec des guillemets quand même).

Sneg · August 2018

Sacré Esteban !

Sneg · August 2018

Toute dernière remarque (!!) :
L'idée des deux accouchements la même année reste possible, bien sûr. Pour preuve, un de mes amis est né début janvier et son frère est né en décembre de la même année.

Énigme du père et de ses 9 enfants

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