Généralisation des premiers jumeaux

L'Axone du Choix · August 2018

Soit $n \ge 1$ un entier naturel, $P_n$ le produit des nombres premiers infèrieurs ou égaux à $n$.
Un nombre premier $p$ est appelé le cadet d'une portée de petits $n$-uplets si $p+P_n, p+2P_n, \dots p+(n-1)P_n$ sont encore premiers.
On peut alors se demander s'il existe une infinité de cadets de portées de petits $n$-uplets.
Pour $n=2$ c'est bien entendu la conjecture des premiers jumeaux.
Que sait-on du cas $n>2$?

Sylvain · August 2018

Il me semble que l'un de ces termes est divisible par $ n-1 $ non ?

L'Axone du Choix · August 2018

Non.

Sylvain · August 2018

Du moins si $ n=P_{n} $.

L'Axone du Choix · August 2018

Et tu crois que ça arrive souvent, ça ?!

L'Axone du Choix · September 2018

Ça arrive exactement quand $n=1$ ou $2$. Maintenant, pourrait-on revenir aux choses sérieuses?

Breyer · September 2018

Cela semble sexy.

L'Axone du Choix · September 2018

C'est plus que sexy car pour $n=3$ je demande trois nombres premiers en progression arithmétique de raison $6$. Exemples: $5,11,17$ mais aussi $11,17,23$ ou $101,107,113$...

LEG · September 2018

Il y a le le théorème de Green-Tao....
pour un entier naturel k arbitraire, il existe une suite arithmétique de k termes formée de nombres premiers.

5, 11, 17, 23, 29 est une suite de raison 6 et de longueur 5 ;

7, 37, 67, 97, 127, 157 est une suite de raison 30 et de longueur 6....etc...

Mais pour n = 4 c'est difficile de trouver 4 nombres premiers en progression arithmétique de raison 4....
On peut supposer qu'il y a une infinité de couples de nombres premiers ayant un écart de 4...

L'Axone du Choix · September 2018

Oui, je connais le théorème de Green-Tao, mais il ne dit rien sur la raison des suites arithmétiques.
Pour $n=4$ je demande quatre nombres premier en progression de raison six (et non pas quatre, ce qui est impossible en raisonnant modulo 3).

LEG · September 2018

61,67,73,79..
si le théorème de Green-Tao, dit que l'on peut en trouver de longueur arbitraire...peut importe la raison..non ?

D'ailleurs je ne pense pas qu'ils disent comment les trouver...

il me semble que pour la raison 6 ou 30, le nombre de premiers en progression arithmétique serra limité ..

Bon courage...

L'Axone du Choix · September 2018

Ta suite est de raison [large]6[/large]. Je dis qu'il n'est pas possible de trouver de progression arithmétique de raison [large]4[/large] de longueur 4 (ou même 3) ne contenant que des nombres premiers.