Syracuse simplifié

bonjour

essaie d'écrire plus précisément la suite que tu étudies ; je suppose qu'il s'agit (avec u(0) fixé, entier positif non-nul)
de la suite de terme général u(n) définie par 2 équations récurrentes affines :

$u_{n+1} = \frac{u_n}{2}$ si $u_n$ est pair

$u_{n+1} = u_n + 1$ si $u_n$ est impair

il s'agit en effet d'une variante (plus simple) de la suite de Collatz (mathématicien allemand)
suite reprise par des soldats américains sur leur base de Syracuse (ville de l'Etat de New York)

tu constates empiriquement que quel que soit u(0), les termes (forcément entiers positifs)
de la suite font apparaître à partir d'un certain rang p un couple (1 ; 2) qui revient alternativement

la suite est en effet périodique de période 2 à partir d'un certain rang p
et les valeurs prises sont 2 et 1 dans cet ordre si u(0) est supérieur ou égal à 2

il est facile d'expliciter dans ces conditions $u_{n+p} = a + b.cos(n\pi)$
d'après son développement algébrique de Fourier

par identification sachant que par définition u(p) = 2 et u(p+1) = 1 il vient pour u(0) supérieur ou égal à 2 :

$u_{n+p} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}cos(n\pi)$

d'après les propriétés asymptotiques des suites sinusoïdales il vient :

limite de $u_{n+p}$ = limite de $u_n$ = 3/2

par un raisonnement par récurrence tu peux montrer que la forme explicitée de $u_{n+p}$ est respectée quel que soit n
et que la suite de terme général $u_n$ à partir d'un certain p, est bien une suite périodique alternative avec les deux valeurs 2 et 1 :

si n est pair alors $cos(n\pi) = 1$ et alors $u_{n+p} = 2$ d'où d'après la première équation récurrente initiale : $u_{n+p+1} = 1$

si n est impair alors $cos(n\pi) = - 1$ et alors $u_{n+p} = 1$ d'où d'après la seconde équation récurrente initiale : $u_{n+p+1} = 2$

le rang p dépend de u(0) mais sous quel forme ? cela reste une question ouverte (comme pour la suite de Collatz originelle)

empiriquement si u(0) est entier pair alors p est approximativement égal à la moitié de u(0)
et si u(0) est entier impair alors p est approximativement égal à u(0)

cordialement

[Inutile de recopier le dernier message. AD]

Kramer
En quoi cela gène...? La suite de Syracuse est bien à valeurs entières...
par exemple pour l'AS2 (suite de Syracuse simplifiée, par Jules Rennucci il y a plusieurs années sur ce site)

(« Fonction de l’AS2, que l’on peut réduire ; avec x = 2i : f(x)= 1,5x + 1 ou 0,5x , si x multiple de 4. »)

prends x = 27 on a bien les valeurs entières ... paires de la suite de Syracuse (3n+1) / 2 ... avec 27:

1 : 54, 82, 124
2 : 62, 94, 142, 214, 322, 484
3 : 242, 364
4 : 182, 274, 412
5 : 206, 310, 466, 700
6 : 350, 526, 790, 1186, 1780

etc...etc

27 : 10 , 16
28 : 8
29 : 4
30 : 2

@gerard0

Et il voudrait qu'on le prenne au sérieux !!! Même pas capable de comprendre ce que remarquait Kramer !

Par ce que toi tu penses, que l'on te prend au sérieux...Qui passe son temps, obsédé par mes interventions , à ne dire que je ne comprends jamais rien...Ce qui est normal car je ne suis pas Mathématicien , mais si toi, tu es prof de math...Je plains tes élèves....!

Mais en tant que profane en la matière , j'ai surement mieux compris Syracuse que toi....qui n'a jamais été capable de comprendre que c'était une structure arithmétique très simple....contrairement à J.R , J.L ...et autres; sur ce forum.

Alors s'il te plait : @Kramer est assez grand pour me répondre si, il le juge utile...et si j'ai mal interprété sa remarque par rapport aux explications de J Lismonde....

Kramer écrivait:

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> Bonjour Kramer,
je pense que J.L parlait de la suite des termes à valeurs entières qui converge vers 1 ....tout simplement et que la limite $u_n$ =
$u_{n+p} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}cos(n\pi)$
il n'a peut être pas mis la fin...car ses explications étaient suffisamment claires.....Non ?
Bonne journée....

Je vois que tu as envie de pinailler et de sortir les phrases de leur contexte :

Voila ce que J .Lismonde à dit il y a quelque temps...dans le fichier joint.

mais effectivement je ne vois pas où il dit dans sa dernière formule que la lim U_n tend vers 7/3 lorsque n tends vers l'infini est à valeur entière.... par contre au rang P, on a 7/3+5/3 = 4 tout comme au "rang p+1" on a : 3/2 + 1/2 = 2....et au rang p+2 et bien on a 1 .....X:-(

Par ailleurs, révérence gardée, il est bien connu que Jean Lismonde dit sur la convergence des suites des choses que l'académie réprouve. Par exemple, la suite $\bigl(\frac73+\frac53\cos\frac{2n\pi}3+\frac1{\sqrt3}\sin\frac{2n\pi}3\bigr)_{n\in\N}$ est divergente (même si elle est convergente au sens de Cesaro, c'est-à-dire que sa moyenne de Cesaro est convergente).