Irrationalité de $e$

LP · August 2018

Bonjour,
il existe diverses preuves de l'irrationalité de $e$ (utilisant les fractions continuées, les intégrales, l'écriture comme somme d'une série...)
Savez-vous s'il existe une preuve utilisant uniquement le fait que $e=\lim\limits_{n\to+\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ (sans montrer que cette limite est aussi égale à $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}$ ni utiliser d'autres propriétés du nombre $e$ ou de la fonction exponentielle) ?
Merci d'avance,
LP

Chaurien · August 2018

Les démonstrations élémentaires habituelles d’irrationalité se fondent généralement sur la convergence rapide d'une suite de rationnels vers l'irrationnel en question. Or ici la convergence est lente : $(1+\frac{1}{n})^n-e \sim - \frac { e} {2n}$ . J'aurais tendance à dire qu'il y a peu de chance qu'une preuve d'irrationalité puisse se faire dans de telles conditions. Mais c'est juste une impression, pas une preuve.
Bonne après-midi.
Fr. Ch.

Romyna · October 2018

Une technique employée est d'utiliser deux suites adjacentes $(u_n)$ et $(v_n)$ différant d'un terme $\frac{1}{n!}$; où : $u_n =\sum \limits_{\underset{k \neq k_0}{k=0}}^n \frac{1}{k!}$

Puis on démontre en utilisant judicieusement les propriétés des deux suites d'avant que : $\lim \limits_{ n \Rightarrow +\infty} u_n = \lim \limits_{ n \Rightarrow +\infty} v_n = e$

Fin de partie · October 2018

Mais on utilise des suites qui convergent très vite vers $e$.

Comme Chaurien je pense qu'on n'arrivera pas à montrer directement avec cette définition de $e$ que $e$ est irrationnel et qu'il faudra en passer par un procédé d'accélération de convergence.
Dans le cas d'espèce on sait parfaitement accélérer la convergence mais ce n'est pas toujours le cas.

Par exemple: la constante de Catalan est définie par une série dont on ne sait pas accélérer suffisamment la convergence pour pouvoir obtenir une preuve d'irrationalité (à ce jour).

Romyna · October 2018

Une méthode rapide est de considérer l'e (l'exponentielle) en tant que solution d'une équation différentielle et c'est clos.

Fin de partie · October 2018

Mais ce n'est pas ce que demandait le questionneur.

On connait aussi le développement en fraction continue régulière de $e$.

Romyna · October 2018

C'est traité ailleurs.

- de l'[large]H[/large]ôpital sur le Log
- ${n}Log(1+\frac{x}{n})$

LP · October 2018

Romyna, comme le dit Fdp, je crois que tu n'as pas bien compris ma question. Je sais que la suite converge vers $e$ et je sais montrer de plusieurs manières que $e$ est irrationnel donc effectivement je sais démontrer que la limite de la suite est irrationnelle.
Ma question est : peut-on le faire sans savoir ce que cette limite est $e$ et donc sans utiliser tout ce que l'on sait, par ailleurs, sur ce nombre.
LP

Fin de partie · October 2018

LP:

Si tu parviens à trouver une méthode qui puisse s'adapter à d'autres situations avec les restrictions que tu te donnes tu deviens célèbre à mon humble avis. B-)

LP · October 2018

Fdp, je n'en demande pas tant !
Il est clair que la lenteur de convergence de la suite empêche a priori une preuve diophantienne. Maintenant, on ne sait jamais, sur cet exemple particulier (et sans vouloir généraliser ;-)), peut-être est-il possible de trouver une preuve directe... Même si je doute aussi !

Romyna · October 2018

$$\lim\limits_{t\to0}\frac{\ln(1+tx)}{t}=\lim\limits_{t\to0}\frac{\ln(1+tx)-\ln(1+0 \times x)}{t-0}=\lim\limits_{t\to0}\frac{f(t)-f(0)}{t-0}= ?.$$
avec $x$ une constante, la variable étant $t$

noix de totos · April 2019

Un peu en retard, mais à noter deux articles sur l'irrationalité de $e$ dans le dernier numéro de Quadrature (n° 112). L'un des deux, en particulier (écrit par O. Bordellès), démontre l'irrationalité de $e^m$, $m \in \mathbb{Z}_{\geqslant 1}$, en utilisant le "critère" original d'irrationalité suivant :

Soit $r \in \mathbb{R}$. Si $r$ est rationnel, alors $0$ est un point isolé de $\mathbb{Z} + \mathbb{Z} r$.

Irrationalité de $e$

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