Divertissement (2)
dans Arithmétique
Bonjour
À celui ou celle que cela intéresserait, voici un petit problème.
Soient $p$ et $q$, deux nombres premiers de la forme $4k-1$ (pour $k$, un entier naturel).
Démontrer que, si $p$ n'est pas un résidu quadratique modulo $q$, alors $q$ n'est, lui, pas une racine primitive modulo $p$.
Bonne après-midi.
À celui ou celle que cela intéresserait, voici un petit problème.
Soient $p$ et $q$, deux nombres premiers de la forme $4k-1$ (pour $k$, un entier naturel).
Démontrer que, si $p$ n'est pas un résidu quadratique modulo $q$, alors $q$ n'est, lui, pas une racine primitive modulo $p$.
Bonne après-midi.
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Réponses
Si $q$ est un générateur de $\left( \Z/p\Z\right)^\star$, alors $q$ n'est pas un carré modulo $p$. En effet, $q^{\frac{p-1}{2}} \ne 1$ car $q$ est d'ordre $p-1$. Comme $q$ n'est pas un carré modulo $p$, on en déduit, par la loi de réciprocité quadratique, que $p$ est un carré modulo $q$ puisque $p=q = -1 \pmod{4}$.
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Ce n’etait pas plus compliqué que cela. Je m’amuse parfois d’un rien.