Une base non entière
dans Arithmétique
1) Addition usuelle modifiée : loi $\oplus$
On pratique l'addition comme d'habitude mais les retenues sont multipliées par $3$. Calculons $7387\oplus 199$ :
$\,\,3363$<---retenues
.....................
$\, \,7387$
$\oplus 199$
$30006$<----résultat
On a $9\oplus2=31$; $\quad 384\oplus385=969$....
2) Calcul de $1\oplus1\oplus\dots\oplus1$
Jusqu'à $1\oplus1\oplus1\oplus1\oplus1\oplus1\oplus1\oplus1\oplus1=9$ ça va, pas de retenue.
Après $9\oplus1=30$, puis $9\oplus1\oplus 1=31$, ... ; $\quad 9\oplus9\oplus 2=60$ ; $\quad 9\oplus9\oplus9\oplus3=90$...
3) La base $10/3$ (voir la suite A024658)
$\forall n \in \N, \exists ! a_0 \exists ! a_1 \dots \exists ! a_k$ avec $a_i\in \{0,1,2,...,9\}$, tels que $n=a_0+a_110/3+...a_k (10/3)^k$. On pose $n=\overline{ a_k...a_1a_0}$.
Ainsi $27=\overline{67}$ ; $\quad 2018=\overline{354038}$.
On a $n+m=\overline{n}\oplus \overline{m}$
Si $n\geq 10$ alors le premier chiffre de $\overline n$ est $3$ ou $6$ ou $9$.
4) Critères de divisibilité.
$n$ est divisible par $2$ ssi le dernier chiffre de $\overline n$ est pair.
$n$ est divisible par $5$ ssi le dernier chiffre de $\overline n$ est $0$ ou $5$
$n$ est divisible par $7$ ssi la somme des chiffres de $\overline n$ est divisible par 7
Il y a peut-être de quoi élaborer un problème pour des MPSI. Merci à qui voudra bien écrire un programme en python pour les conversions $n <----> \overline n$.
On pratique l'addition comme d'habitude mais les retenues sont multipliées par $3$. Calculons $7387\oplus 199$ :
$\,\,3363$<---retenues
.....................
$\, \,7387$
$\oplus 199$
$30006$<----résultat
On a $9\oplus2=31$; $\quad 384\oplus385=969$....
2) Calcul de $1\oplus1\oplus\dots\oplus1$
Jusqu'à $1\oplus1\oplus1\oplus1\oplus1\oplus1\oplus1\oplus1\oplus1=9$ ça va, pas de retenue.
Après $9\oplus1=30$, puis $9\oplus1\oplus 1=31$, ... ; $\quad 9\oplus9\oplus 2=60$ ; $\quad 9\oplus9\oplus9\oplus3=90$...
3) La base $10/3$ (voir la suite A024658)
$\forall n \in \N, \exists ! a_0 \exists ! a_1 \dots \exists ! a_k$ avec $a_i\in \{0,1,2,...,9\}$, tels que $n=a_0+a_110/3+...a_k (10/3)^k$. On pose $n=\overline{ a_k...a_1a_0}$.
Ainsi $27=\overline{67}$ ; $\quad 2018=\overline{354038}$.
On a $n+m=\overline{n}\oplus \overline{m}$
Si $n\geq 10$ alors le premier chiffre de $\overline n$ est $3$ ou $6$ ou $9$.
4) Critères de divisibilité.
$n$ est divisible par $2$ ssi le dernier chiffre de $\overline n$ est pair.
$n$ est divisible par $5$ ssi le dernier chiffre de $\overline n$ est $0$ ou $5$
$n$ est divisible par $7$ ssi la somme des chiffres de $\overline n$ est divisible par 7
Il y a peut-être de quoi élaborer un problème pour des MPSI. Merci à qui voudra bien écrire un programme en python pour les conversions $n <----> \overline n$.
Réponses
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Serviteur, Monsieur.
NB : avec $b=1$, ça donne la conversion en base non fractionnaire.def base(m,a=10,b=3,S=[]): if m==0: return S r = m%a S = [r]+S return base((m-r)/a*b,a,b,S) def esab(S,a=10,b=3): if len(S)==1: return S[0] c = S.pop(0) S[0]+= a*c/b return esab(S,a,b)
-
$\overline{67000}$ mercis.
-
En base $10$
En partant de n'importe quel entier et en itérant la fonction "somme de carrés des chiffres", on tombe sur $1$ ou sur le cycle : $ 4\rightarrow16\rightarrow 37\rightarrow 58\rightarrow 89 \rightarrow 145 \rightarrow 42\rightarrow20\rightarrow4 $
En base $3/2$
Tout nombre sauf $1$ tombe sur le cycle $ 5\rightarrow 8\rightarrow 9\rightarrow 5$
Voir l'article de Andre Bland, Zoe Cramer, Philip de Castro, Desiree Domini, Tom Edgar, Devon Johnson, Steven Klee, Joseph Koblitz & Ranjani Sundaresan (2017) intiulé Happiness Is Integral But Not Rational, dans Math Horizons, 25:1, 8-11, DOI: 10.4169/mathhorizons.25.1.8
En base $10/3$
Je ne sais pas si on tombe toujours sur un cycle.
En partant de $2$, on aboutit au cycle $\overline{678} \rightarrow \overline {3229}\rightarrow \overline {678}$.
En partant de $3$, je trouve un cycle de longueur $18$.
Ci-dessous une figure pour les petits nombres en base $3/2$ -
J'ai fait des tests un peu plus loin que 25. Jusqu'à 1.000.000, ça boucle toujours en quelques tours sur un cycle de longueur 1, 2, 3, 8 ou 18. Plus précisément, il y a deux points fixes, $1$ et $115$, et un seul cycle pour les autres longueurs. Les voici :
2 : [1], [115] 2 : [98, 149] 3 : [99, 166, 113] 8 : [77, 86, 88, 116, 126, 153, 47, 62] 18 : [81, 53, 43, 22, 40, 13, 18, 73, 46, 49, 94, 101, 82, 56, 70, 37, 130, 162]
Nombre de nombres qui tombent sur chaque cycle :cycle de 1: 1, cycle de 115: 9249, cycle de 98: 86158, cycle de 99: 318284, cycle de 77: 246408, cycle de 81: 339900}
-
Merci Math Coss, on peut comparer les densités. Richard K. Guy pense que dans le cas de la base 10, un nombre sur sept arrive à 1, Unsolved problems in number theory, page 234.
-
Voici l'évolution des densités avec un point tous les 50.000 jusqu'à 2.000.000 : très stables.
Autres bases. Pour les 200.000 premiers nombres :- en base $4/3$, il y a trois points fixes : [1], [18], [27] ;
- en base $4/2$ (?), il y a trois points fixes : [1], [4], [5] ;
- en base $4/1$, tout le monde tombe sur [1] ;
- en base $6/2$ (?), cinq cycles : [1], [8], [41], [29, 33], [33, 29] ;
- en base $6/5$, quatre points fixes [1], [121], [93], [120] ;
- en base $7/3$, il y a trois cycles : [1], [38, 46, 68, 74, 54] et [47, 77, 59, 31, 43, 53, 29, 35, 37, 41, 73] ;
- en base $7/5$, quatre cycles : [1], [139], [61, 101], [96, 112] ;
- en base $8/5$, trois cycles : [1], [58], [93, 184, 120, 109, 101, 95, 208, 118, 147, 172] ;
- en base $8/7$, quatre cycles : [1], [298], [326], [303, 343, 389, 365, 398, 425, 304, 338, 344, 319, 413, 404, 371] ;
- etc.
PS : le code que j'ai utilisé (avec Sage : il faut modifier le calcul de la somme add(...)).def itere(n,a=10,b=3): S = base(n,a,b) return add([s^2 for s in S]) def cycle(n,a=10,b=3,N=100): p, L, cpt = itere(n,a,b),[n],0 while not(p in L) and cpt<=100: cpt+=1 L.append(p) p = itere(p,a,b) try: i = L.index(p) return L[i:] except: return "Exception possible pour n = %s" %n #C = {1:0, 115:0, 98:0, 99:0, 77:0, 81:0} def teste(N,a=10,b=3): C = {1:0, 115:0, 98:0, 99:0, 77:0, 81:0} LC = {1:[], 115:[], 98:[], 99:[], 77:[], 81:[]} L = [] for n in range(1,N+1): l = cycle(n,a,b) for c in C.keys(): if c in l: C[c]+= 1 if not l in L: L.append(l) if len(l) not in [2,3,8,18]: print "Pour %s : longueur %s" % (n,len(l)) if n%50000==0: # print "%s : %s" % (n,str(C)) for c in C.keys(): LC[c].append(1.*C[c]/n) return L,LC
-
Merci pour ces résultats. Quelle différence y a-t-il entre la base 6/2 et la base 3 ?
-
Eh bien, en base $3/1$ il y a trois points fixes : [1], [5], [8] et un cycle : [2,4].
C'est que les chiffres autorisés en base $6/2$ sont $\{0,1,2,3,4,5\}$, alors que $4$ et $5$ sont interdits en base $3/1$. Ainsi, douze s'écrit $\overline{40}$ en base $6/2$ et $\overline{110}$ en base $3/1$. La différence a un sens (bien sûr, il faut comprendre $a/b$ comme un couple et pas comme un rationnel).
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