Une base non entière

Cidrolin · August 2018

1) Addition usuelle modifiée : loi $\oplus$

On pratique l'addition comme d'habitude mais les retenues sont multipliées par $3$. Calculons $7387\oplus 199$ :
$\,\,3363$<---retenues
.....................
$\, \,7387$
$\oplus 199$

$30006$<----résultat
On a $9\oplus2=31$; $\quad 384\oplus385=969$....

2) Calcul de $1\oplus1\oplus\dots\oplus1$

Jusqu'à $1\oplus1\oplus1\oplus1\oplus1\oplus1\oplus1\oplus1\oplus1=9$ ça va, pas de retenue.
Après $9\oplus1=30$, puis $9\oplus1\oplus 1=31$, ... ; $\quad 9\oplus9\oplus 2=60$ ; $\quad 9\oplus9\oplus9\oplus3=90$...

3) La base $10/3$ (voir la suite A024658)

$\forall n \in \N, \exists ! a_0 \exists ! a_1 \dots \exists ! a_k$ avec $a_i\in \{0,1,2,...,9\}$, tels que $n=a_0+a_110/3+...a_k (10/3)^k$. On pose $n=\overline{ a_k...a_1a_0}$.

Ainsi $27=\overline{67}$ ; $\quad 2018=\overline{354038}$.
On a $n+m=\overline{n}\oplus \overline{m}$
Si $n\geq 10$ alors le premier chiffre de $\overline n$ est $3$ ou $6$ ou $9$.

4) Critères de divisibilité.

$n$ est divisible par $2$ ssi le dernier chiffre de $\overline n$ est pair.
$n$ est divisible par $5$ ssi le dernier chiffre de $\overline n$ est $0$ ou $5$
$n$ est divisible par $7$ ssi la somme des chiffres de $\overline n$ est divisible par 7

Il y a peut-être de quoi élaborer un problème pour des MPSI. Merci à qui voudra bien écrire un programme en python pour les conversions $n <----> \overline n$.

Math Coss · August 2018

Serviteur, Monsieur.
NB : avec $b=1$, ça donne la conversion en base non fractionnaire.

def base(m,a=10,b=3,S=[]):
    if m==0:
        return S
    r = m%a
    S = [r]+S
    return base((m-r)/a*b,a,b,S)

def esab(S,a=10,b=3):
    if len(S)==1:
        return S[0]
    c = S.pop(0)
    S[0]+= a*c/b
    return esab(S,a,b)

Cidrolin · August 2018

$\overline{67000}$ mercis.

Cidrolin · August 2018

En base $10$
En partant de n'importe quel entier et en itérant la fonction "somme de carrés des chiffres", on tombe sur $1$ ou sur le cycle : $ 4\rightarrow16\rightarrow 37\rightarrow 58\rightarrow 89 \rightarrow 145 \rightarrow 42\rightarrow20\rightarrow4 $

En base $3/2$
Tout nombre sauf $1$ tombe sur le cycle $ 5\rightarrow 8\rightarrow 9\rightarrow 5$
Voir l'article de Andre Bland, Zoe Cramer, Philip de Castro, Desiree Domini, Tom Edgar, Devon Johnson, Steven Klee, Joseph Koblitz & Ranjani Sundaresan (2017) intiulé Happiness Is Integral But Not Rational, dans Math Horizons, 25:1, 8-11, DOI: 10.4169/mathhorizons.25.1.8

En base $10/3$
Je ne sais pas si on tombe toujours sur un cycle.
En partant de $2$, on aboutit au cycle $\overline{678} \rightarrow \overline {3229}\rightarrow \overline {678}$.
En partant de $3$, je trouve un cycle de longueur $18$.

Ci-dessous une figure pour les petits nombres en base $3/2$ 79576

Math Coss · August 2018

J'ai fait des tests un peu plus loin que 25. Jusqu'à 1.000.000, ça boucle toujours en quelques tours sur un cycle de longueur 1, 2, 3, 8 ou 18. Plus précisément, il y a deux points fixes, $1$ et $115$, et un seul cycle pour les autres longueurs. Les voici :

 2 : [1], [115]
 2 : [98, 149]
 3 : [99, 166, 113]
 8 : [77, 86, 88, 116, 126, 153, 47, 62]
18 : [81, 53, 43, 22, 40, 13, 18, 73, 46, 49, 94, 101, 82, 56, 70, 37, 130, 162]

Nombre de nombres qui tombent sur chaque cycle :

cycle de 1: 1, cycle de 115: 9249, cycle de 98: 86158, cycle de 99: 318284, cycle de 77: 246408, cycle de 81: 339900}

Cidrolin · August 2018

Merci Math Coss, on peut comparer les densités. Richard K. Guy pense que dans le cas de la base 10, un nombre sur sept arrive à 1, Unsolved problems in number theory, page 234.

Math Coss · August 2018

Voici l'évolution des densités avec un point tous les 50.000 jusqu'à 2.000.000 : très stables.

Autres bases. Pour les 200.000 premiers nombres :

en base $4/3$, il y a trois points fixes : [1], [18], [27] ;
en base $4/2$ (?), il y a trois points fixes : [1], [4], [5] ;
en base $4/1$, tout le monde tombe sur [1] ;
en base $6/2$ (?), cinq cycles : [1], [8], [41], [29, 33], [33, 29] ;
en base $6/5$, quatre points fixes [1], [121], [93], [120] ;
en base $7/3$, il y a trois cycles : [1], [38, 46, 68, 74, 54] et [47, 77, 59, 31, 43, 53, 29, 35, 37, 41, 73] ;
en base $7/5$, quatre cycles : [1], [139], [61, 101], [96, 112] ;
en base $8/5$, trois cycles : [1], [58], [93, 184, 120, 109, 101, 95, 208, 118, 147, 172] ;
en base $8/7$, quatre cycles : [1], [298], [326], [303, 343, 389, 365, 398, 425, 304, 338, 344, 319, 413, 404, 371] ;
etc.

Une conjecture évidente : pour chaque base fractionnaire $a/b$, il n'y a qu'un nombre fini de cycles.

PS : le code que j'ai utilisé (avec Sage : il faut modifier le calcul de la somme add(...)).

def itere(n,a=10,b=3):
    S = base(n,a,b)
    return add([s^2 for s in S])

def cycle(n,a=10,b=3,N=100):
    p, L, cpt = itere(n,a,b),[n],0
    while not(p in L) and cpt<=100:
        cpt+=1
        L.append(p)
        p = itere(p,a,b)
    try:
        i = L.index(p)
        return L[i:]
    except:
        return "Exception possible pour n = %s" %n

#C = {1:0, 115:0, 98:0, 99:0, 77:0, 81:0}

def teste(N,a=10,b=3):
    C = {1:0, 115:0, 98:0, 99:0, 77:0, 81:0}
    LC = {1:[], 115:[], 98:[], 99:[], 77:[], 81:[]}
    L = []
    for n in range(1,N+1):
        l = cycle(n,a,b)
        for c in C.keys():
            if c in l:
                C[c]+= 1
        if not l in L:
            L.append(l)
            if len(l) not in [2,3,8,18]:
                print "Pour %s : longueur %s" % (n,len(l))
        if n%50000==0:
            # print "%s : %s" % (n,str(C))
            for c in C.keys():
                LC[c].append(1.*C[c]/n)
    return L,LC

Cidrolin · August 2018

Merci pour ces résultats. Quelle différence y a-t-il entre la base 6/2 et la base 3 ?

Math Coss · August 2018

Eh bien, en base $3/1$ il y a trois points fixes : [1], [5], [8] et un cycle : [2,4].

C'est que les chiffres autorisés en base $6/2$ sont $\{0,1,2,3,4,5\}$, alors que $4$ et $5$ sont interdits en base $3/1$. Ainsi, douze s'écrit $\overline{40}$ en base $6/2$ et $\overline{110}$ en base $3/1$. La différence a un sens (bien sûr, il faut comprendre $a/b$ comme un couple et pas comme un rationnel).

Une base non entière

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 43