Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
142 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

$y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente

Envoyé par claude quitté 
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Laisse tomber, $Q_{(p,1,1)}$ est toujours $\Q_p$-soluble !

En effet, elle passe par $\left(p-1:p+1:2:\sqrt{4-p+2p^2-p^3}\right)$. grinning smiley
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Pour $u = (p,1,1)$ de manière expérimentale : $Q_u$ est toujours soluble sur $\Q_p$ (enfin, je crois). Et tout se joue sur les diviseurs premiers $q$ de $p^2 + 1$ de manière totalement mystérieuse pour l'instant.
Une petite liste de $p$ et en face les $q$ tels que $Q_u$ ne soit PAS $\Q_q$ soluble. Par exemple, pour $p = 71$, il n'y a rien en face, ce qui veut dire que $Q_u$ est localement soluble. Pour l'instant, je n'en sais pas plus que cela.
    <3, [ 2, 5 ]>,
    <5, [ 2, 13 ]>,
    <7, [ 5 ]>,
    <11, [ 2, 61 ]>,
    <13, [ 2, 5 ]>,
    <17, [ 5, 29 ]>,
    <19, [ 2, 181 ]>,
    <23, [ 5, 53 ]>,
    <29, [ 2, 421 ]>,
    <31, [ 13, 37 ]>,
    <37, [ 2, 5 ]>,
    <41, [ 29 ]>,
    <43, [ 2, 5, 37 ]>,
    <47, [ 5, 13 ]>,
    <53, [ 2, 5 ]>,
    <59, [ 2, 1741 ]>,
    <61, [ 2, 1861 ]>,
    <67, [ 2, 5 ]>,
    <71, []>,
    <73, [ 5, 13 ]>,
    <79, []>,
    <83, [ 2, 5, 13, 53 ]>,
    <89, []>,
    <97, [ 5, 941 ]>,
    <101, [ 2, 5101 ]>,
    <103, [ 5, 1061 ]>,
    <107, [ 2, 5, 229 ]>,
    <109, [ 2, 13 ]>,
    <113, [ 5, 1277 ]>,
    <127, [ 5, 1613 ]>,
    <131, [ 2, 8581 ]>,
    <137, [ 5, 1877 ]>,
    <139, [ 2, 9661 ]>,
    <149, [ 2, 653 ]>,
    <151, [ 13, 877 ]>,
    <157, [ 2, 5, 29 ]>,
    <163, [ 2, 5 ]>,
    <167, [ 5, 2789 ]>,
    <173, [ 2, 5 ]>,
    <179, [ 2, 37 ]>,
    <181, [ 2, 16381 ]>,
    <191, [ 29, 37 ]>,
    <193, [ 5, 149 ]>,
    <197, [ 2, 5 ]>,
    <199, []>,
    <211, [ 2, 197 ]>,
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Merci.
Lis mon dernier message, c'est un résumé d'une bonne tartine de calculs !
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Remarque : le point ci-dessus est aussi un $\Q_q$-point de $Q_{(p,1,1)}$ quand $q\mid p^2+1$ et $q\equiv 1\bmod 8$.

En effet, dans ce cas-là, $p^2\equiv -1\bmod q$ donc $4-p+2p^2-p^3\equiv 2\bmod q$ et $\chi_q(2)=1$ quand $q\equiv 1\bmod 8$ (mais pas quand $q\equiv 5\bmod 8$).
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Voilà où j'en suis : j'ai complété le cas $q \mid q_2$ qui en fait était facile ! Et ensuite j'ai couru après toi (sans te rattraper) en ce qui concerne $u = (p,1,1)$. J'ai tenu compte de tes posts (cf attachement ci-dessous). Et ceux-ci m'ont fait deviner ce que l'on cherchait. Cela m'a conduit à la fonction ci-dessous vachement complexe
IsToyExceptional := function(p)
  D := PrimeDivisors(ExactQuotient(p^2+1,2)) ;
  return (p mod 8 in {1,7})  and &and [q mod 8 eq 1 : q in D] ;
end function ;



Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Super !

Je te raconte l'histoire du $\Q_p$-point de $Q_{(p,1,1)}$ (et aussi de quelques $\Q_q$).

1) On a $x_0^2=x_1^2\bmod p$ et je fais le pari qu'on peut trouver $X_0,X_1$ tels que $x_0=pX_0,x_1=pX_1$.
$C_{12}$ se réécrit alors $$x_2^2=p(X_1^2-X_0^2).$$
2) On a alors envie de prendre $X_1^2-X_0^2=p$.
C'est parti mon kiki avec $$X_0=\frac{p-1}2,\quad X_1=\frac{p+1}2.$$
3) On croise les doigts :$$x_3^2=pX_1^2-p(p^2+1)X_0^2=\frac{p^2}4(4-p+2p^2-p^3).$$Avec autant de chance, j'aurais peut-être dû jouer au loto !!! grinning smiley
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
$\def\Sha{\text{Sha}}\def\F{\mathbb F}$Vu. Cela paye de faire des paris. Avant de me poser, je te montre un petit truc déjà évoqué dans le passé. Avec $p = 71$ et $E = E_p$, on va se prendre du $\Sha(E/\Q)[2]$ dans la gueule
> n := 71 ;
> Toy2SelmerRankTorsionRemoved(n) ;
2
> E := ToyEllipticCurve(n) ;                
> Rank(E) ;
Warning: rank computed (0) is only a lower bound
(It may still be correct, though)
0
> RankBounds(E) ;
0 2
Le rang sur $\F_2$ du 2-Selmer 2-torsion liquidée est 2, ce qui nous fait la majoration $r \le 2$ pour le rang de $E/\Q$. Rien d'extraordinaire pour l'instant.
Maintenant, on sort les grands moyens analytiques (via magma) et les résultats des pointures. Le rang analytique de $E$ est $0$, et on voit $L_E(s=0) \simeq 0.35397$.
> AnalyticRank(E) ;
0 0.35397
> RankMinRankMax, FreeGenerators, ShaInfo := MordellWeilShaInformation(E : Silent := false) ;
Torsion Subgroup = Z/2 x Z/2
Analytic rank = 0    ==> Rank(E) = 0     ( ===>  Implication : résultat des pointures )
> RankMinRankMax ;
[ 0, 0 ]
> FreeGenerators ;
[]
Bon, le rang de $E$ est en fait $0$, et $E(\Q)$ est réduit à la 2-torsion $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$.

On reprend la main avec nos affaires de bébé. Ici du passé.
> e1 := 0 ; e2 := 1 ; e3 := n^2+1 ;
> Uoo := UooCoefficients(e1,e2,e3) ;
> #Uoo ;
16
> S := OurBabySelmer(e1, e2, e3) ;
> #S ;
16
Cela signifie ``dans le cochon, tout est bon''. i.e. toutes les $Q_u$ du gros sac $U_\infty$ sont localement solubles.
Maintenant version économique/écologique avec le petit sac $U_{1+}$. Pareil, tout est bon dans le cochon (normal $p = 71$ est Toy-exceptionnel).
> U1plus := ToyU1plusCoefficients(n) ;                      
> Seco := ToySelmer2TorsionRemoved(n) ;
> assert Seco eq U1plus ;
> Seco ;
[ <1, 1, 1>, <71, 1, 1>, <1, 2521, 1>, <71, 2521, 1> ]
Et le $\Sha(E)[2]$ dans la tronche, c'est maintenant : sur les 4 $Q_u$ qui sont localement solubles, puisque le rang de $E/\Q$ est $0$, c'est qu'elles ne sont pas $\Q$-solubles. Sauf la neutre bien entendu.
> N := 10^6 ;
> u := Seco[2] ;
> pi := Cover2Selmer(e1,e2,e3, u) ;
> Qu := Domain(pi) ;
> Points(Qu : Bound := N) ;            
{@ @}
> 
> u := Seco[3] ;                          
> pi := Cover2Selmer(e1,e2,e3, u) ;
> Qu := Domain(pi) ;
> Points(Qu : Bound := N) ;            
{@ @}
> 
> u := Seco[4] ;                   
> pi := Cover2Selmer(e1,e2,e3, u) ;
> Qu := Domain(pi) ;
> Points(Qu : Bound := N) ;
{@ @}
Pas trouvé de point (avec la mention de la borne $N = 10^6$) : ben, heureusement. Mais ce n'est pas une preuve qu'il n'y en n'a pas. Mais prouver, à la main, que les 3 $Q_u$ localement solubles ne sont pas $\Q$-solubles serait une autre paire de manches. Et qui permet de s'en passer ? Réponse : $L_E(s=0) \simeq 0.35397$.



Rien à voir. Loto : tu n'as pas joué. OK. Mais j'ai peut-être une idée qu'elle est bonne. Il y a bien de l'informatique dans le secondaire, n'est ce pas ?
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Ah le rang analytique ! confused smiley

Il y a de l'informatique dans le secondaire. Soit... smiling smiley
Quelle est cette idée qu'elle est bonne ?
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Après avoir réfléchi, mon idée elle est pas bonne. Et trop compliquée. Suite à ta mention du loto, je m'étais dit que, peut-être (je te dis pas comment), on pourrait se faire de l'oseille.

artiche, as, aspine, aubert, avoine, balles, beurre, biftons, blanquette, blé, boules, braise, brèles, brique, bulle, caillasse, caire, carbure, carme, craisbi, douille, faf, fafiots, fifrelins, flouze, fourrage, fraîche, fric, keufri (fric, en verlan), galette, galtouse, ganot, genhar (argent, en verlan), gen-gen, gibe, graisse, grisbi, japonais, love, maille, mornifle, némo (monnaie, en verlan), os, oseille, osier, patate, pélot, pépettes, pèse, picaillons, pimpions, plâtre, pognon, radis, ronds, sacs, soudure, talbin, trèfle, thune…

Mais est ce que c'est bien raisonnable de vouloir s'enrichir ?



Il y a quelques jours, je voyais des radicaux carrés partout (avec Shanks et le groupe $D_4$). Maintenant, je cherche des $\Q_p$-points partout. C'est grave docteur ? Tiens, j'en ai trouvé un autre que le tien $(\heartsuit)$ qui m'a beaucoup impressionné. Et j'ai fait un bout minuscule de $\Q_2$ pour $p \equiv \pm 1 \bmod 8$.


Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Bien vu ton $\Q_p$-point avec ses quatre racines carrées. winking smiley

Si $p\equiv -1\bmod 8$, $(1:1:0:\sqrt{-p})$ est un $\Q_2$-point de $Q_{(p,1,1)}$.

Grâce à ta ToyCurve, on a enfin mis les pieds dans le cambouis $2$-adique.
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
J'essaie maintenant de montrer ici que la condition $p\equiv\pm 1\bmod 8$ est nécessaire.

Si $(x_0:x_1:x_2:x_3)$ est un $\Q_2$-point de $Q_u$, alors $x_1^2=(p^2+1)x_0^2+px_3^2$, ce qui invite à calculer le symbole de Hilbert $(p^2+1,p)_2$.
Pour cela, j'utilise le théorème 10.9. du Sutherland p.3.
Avec ses notations, on a :$$\alpha=1,\quad u=\frac {p^2+1}2,\quad \beta=0,\quad v=p.
$$ D'où :$$\varepsilon(u)=\frac{p^2-1}4,\quad \varepsilon(v)=\frac{p-1}2,\quad \omega(v)=\frac{p^2-1}8.
$$ Enfin : $$(p^2+1,p)_2=(-1)^{\varepsilon(u)\varepsilon(v)+\omega(v)}=(-1)^{p\frac{p^2-1}8}=(-1)^{\frac{p^2-1}8}.
$$ Conclusion :$$(p^2+1,p)_2=1\Leftrightarrow p\equiv\pm 1\bmod 8.$$



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Un $\Q_2$-merci ! Je recopie cela dans mon TeX demain.
PS : en principe, on devrait être plus à l'aise pour reprendre des choses générales. Enfin, je vois pas comment on pourrait être moins à l'aise.
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Du coup, si on arrive à trouver $p$ premier impair tel que $p\not\equiv\pm 1\bmod 8$ et tel que tous les diviseurs premiers impairs $q$ de $p^2+1$ vérifient $q\equiv 1\bmod 8$, alors $Q_{(p,1,1)}$ sera localement soluble sur tous les $\Q_q$ sauf sur $\Q_2$.
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Salut Claude,

Bon, je peux toujours courir.
Si $p\not\equiv\pm 1\bmod 8$, alors $\dfrac{p^2+1}2\equiv 5\bmod 8$.
Dommage !
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
@Gai-Requin

0). Une mise à jour. C'est presque terminé sauf 2 points en rouge. Cela a pas mal grossi (7 pages) si bien que la structure du document (points à plat) n'est plus adaptée. Je me demande si on (toi, moi) peut s'y retrouver facilement.

1) En tout cas la preuve est faite : sans un suivi un TeX, il est impossible de s'y retrouver dans un fil aussi long. On aurait dû commencer plus tôt.

2) Est ce que l'on va faire de la Toy-curve le restant de nos jours ? Bien sûr que non. Il ne faut pas perdre le fil de ce que l'on voulait faire AVANT. Sauf que maintenant, en principe, nous sommes plus à l'aise, nous avons pas mal d'exemples à notre disposition ...etc... Donc revenir sur les posts avant le débarquement de la Toy-curve. Exemple d'observation faite pour une $y^2 = (x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)$ générale, dans un passé récent
$$
\text{Dans le contexte} \ p \text { premier impair}, \quad p \mid u_1, \quad p \not\mid q_1 : \qquad\qquad
\hbox {$Q_u$ admet un $\Q_p$-point} \iff h_{12} = h_{13} = 1
$$
On s'y frottera ?

3) Comment fais tu pour retrouver un post efficacement dans ce fil ? Par exemple mon post où je parle des frères Dokchister et de la torsion dégraissée (j'en parle de ce post à la page 6 de la note).

Bonne lecture (j'ai essayé de tenir compte de tous nos posts dans cette histoire, cela fait probablement fouillis, sans parler des coquilles, voire erreurs, qui ne doivent pas manquer).
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Great job !

Je n'ai pas trop de temps à moi jusqu'à mercredi (fin de l'année scolaire=charges administratives) mais je vais quand même essayer de regarder le cas $q\equiv 5\bmod 8$.

J'ai retrouvé les frères Dokchister [ici] en tapant "claude quitté les frères Dokchister les-mathematiques.net" dans google.

Et je suis bien content d'avoir pu enfin placer un symbole de Hilbert en $p=2$ quelque part ! smiling smiley
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
A propos du symbole d'Hilbert $(n^2 + 1, n)_2$ pour $n$ impair, tu y verras le lien avec le caractère de Kronecker $\chi_8(n)$, dans ma note en TeX, page 5 tout en bas, sans démo.

Damned, je suis nul pour chercher : ne trouvant pas ce que je voulais dans le post que tu pointais sur les frères Jacques, j'ai décidé de chercher tout seul. Et j'ai trouvé la chose à la page 9 du fil [www.les-mathematiques.net]. Mais damned (bis) : c'est bien la même page !
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Salut Claude,

1) Concernant ton dernier message, il me semble que le calcul de $(p^2+1,p)_2$ ne fait pas appel au fait que $p$ soit premier donc on peut remplacer $p$ premier par $n$ impair quelconque.

2) Je pense avoir simplifié le cas $q\mid p^2+1$ de la façon suivante.

En raisonnant modulo $q$, on voit facilement que $p$ doit être un carré modulo $q$. Or,$$\chi_q(p)=p^{\frac{q-1}2}=(p^2)^{\frac{q-1}4}=(-1)^{\frac{q-1}4}.
$$Donc $$\chi_q(p)=1\Leftrightarrow q\equiv 1\bmod 8.$$
Réciproquement, si $q\equiv 1\bmod 8$, $p$ est un carré modulo $q$ non nul et $(0:\sqrt p:1:1)$ est un $\Q_q$-point de $Q_{(p,1,1)}$.
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Salut Gai-Requin
Vu. J'avais déjà fait un truc (dont je ne suis pas fier) que je laisse. Mais je fais une petite place en rouge (tu as une imprimante couleur ?) a ton traitement qui est beaucoup plus carré. Par ailleurs, j'ai apporté des simplifications dans la notion de Toy-exceptionne ou Toy-ordinaire, ce qui fait que j'ai pu venir à bout de la détermination des ordres des groupes de 2-Selmer torsion liquidée (l'autre truc qui restait en rouge).


Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Suite à propos de notre chère $Q_{(p,1,1)}$. Avant d'attaquer la bête, j'ai fait une petite remarque concernant la $\Q$-solubilité de chaque conique, cf ci-dessous.
Les deux coniques $C_{12}$, $C_{23}$ ont un $\Q$-point donc sont $\Q$-isomorphes à la conique fondamentale $Y^2 = XZ$.

Il se pourrait que $C_{13}$ et $C_0$ soient $\Q$-isomorphes. Je ne crois pas que la $\Q$-isomorphie de deux $\Q$-coniques générales puisse de décider facilement (déjà être $\Q$-isomorphe à la conique fondamentale, c'est pas de la tarte, merci Legendre).


Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
A l'intention de tes petit(e)s, un magnifique cadeau : pour $p = 79$ (le deuxième nombre premier Toy-exceptionnel) un $\Q$-point (global, rien que ça, d'où l'utilisation de magnifique cadeau) de $Q_u$ avec $u = (p,1,1)$, cette p.tain d'intersection de quadriques qui nous a donné du fil à retordre.

Les présentations ne sont plus à faire :
> p := 79 ;
> e1 := 0 ; e2 := 1 ; e3 := p^2 + 1 ;
> u := <p,1,1> ;
Le 2-cover $\pi : Q_u \to E_p$ avec 2 relais s'il vous plaît (chanson avec le refrain : sur une courbe lisse ....etc...)
> pi := Cover2Selmer(e1, e2, e3, u) ;
> pi : Minimal ;
(x0 : x1 : x2 : x3) -> (x0*x1^2 : 79*x1*x2*x3 : x0^3)
Alternatives:
(x0 : x1 : x2 : x3) -> (x0^3 + 79*x0*x2^2 : 79*x1*x2*x3 : x0^3)
(x0 : x1 : x2 : x3) -> (6242*x0^3 + 79*x0*x3^2 : 79*x1*x2*x3 : x0^3)
Voir cette p.tain de $Q_{(p,1,1)}$ :
> Qp11 := Domain(pi) ;
> Qp11 ;
Curve over Rational Field defined by
x0^2 - x1^2 + 79*x2^2,
6242*x0^2 - x1^2 + 79*x3^2
> p^2 + 1 ;
6242
Le $\Q$-solveur de magma (ici, on espère que ... mais évidemment, j'ai préparé mon coup)
> time Qp11Points := Points(Qp11 : Bound := 10^4) ;
Time: 0.210
> P := Qp11Points[1] ;
> P ;
(-39/271 : -3911/271 : -440/271 : 1)
Et je te $\pi$-balance le truc sur $E_p$:
> pi(P) ;
(15295921/1521 : -36841463560/59319 : 1)
> Codomain(pi) ;
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 6243*x^2 + 6242*x over Rational Field
> ToyEllipticCurve(p) ;
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 6243*x^2 + 6242*x over Rational Field
En passant : à ton avis, sur les marchés, le Dimanche matin, pourrait-on en tirer un bon prix ? C'était quand même pas gagné car
> PrimeDivisors(ExactQuotient(p^2+1, 2)) ;
[ 3121 ]
> Toy2SelmerRankTorsionRemoved(p) ;       
2
> E := ToyEllipticCurve(p) ;
> RootNumber(E) ;
1
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
@Claude :

Une petite remarque : dans le cas que j'ai traité ce matin, pour montrer que $p$ est un carré modulo $q$, il faut considérer deux coniques.
En effet, si on ne considère que $C_{13}$ par exemple, on obtient seulement que $(p$ est un carré modulo $q)$ ou $(x_1\equiv x_3\equiv 0\bmod q)$.

Et bien vu pour la simplification de la notion Toy-exceptionnel. thumbs down
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Un petit résumé de $E_{79}$ pour voir si j'ai bien compris :

1) Le $2$-groupe de Selmer torsion removed est de rang $2$ donc le rang algébrique $r$ de $E_{79}$ vérifie $r\leq 2$.

2) La conjecture BSD est prouvée quand le rang (algébrique ou analytique) d'une courbe elliptique est $\leq 1$.

3) Or,

> E:=EllipticCurve([0,-6243,0,6242,0]);
> E;
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 6243*x^2 + 6242*x over Rational Field
> AnalyticRank(E);
2 16.130

Donc $r=2$.
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
$\def\Sha{\text{Sha}}$Oui, c'est cela pour $p = 79$. Ce qui n'était pas gagné, c'est que $(p^2 + 1)/2$ est premier. Avec mes notations, le nombre $d$ de facteurs premiers de $(p^2+1)/2$ est $d = 1$. Et $p$ étant Toy-exceptionnel, le rang du 2-Selmer torsion removed est $d+1 = 2$. Mais c'est juste une borne.

De plus, un théorème de parité te dit que le rang de $E_{79}/\Q$ est $\equiv 0 \bmod 2$, donc $r(E_{79}/\Q) = 0,2$. Cela aurait pu être $0$ !! Ce qui m'est d'ailleurs arrivé avec $p=71$, qui est d'une part Toy-exceptionnel et d'autre part vérifie $(71^2 + 1)/2$ premier. Mais pour des raisons analytiques, $r(E_{71}/\Q) = 0$, ce qui fait que je me suis ramassé du $\Sha(E_{71}/\Q)[2]$ dans la gueule.

Bref, faut se forcer un peu pour faire des cadeaux, les gens ne se rendent peut-être pas bien compte. Se prendre du $\Sha(\ )[2]$ en plein dans la figure, cela te remet les esprits bien en place. Et je maintiens que $p = 79$ avec $u = (p,1,1)$ qui donne, on verra pas cela tous les jours.



En ce qui concerne les 2 coniques (ton autre post), je vais modifier la rédaction (tu as bien raison).
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Une mise à jour. En principe, c'est mieux avec moins de coquilles. Je détache l'autre pour ne pas saturer la machine qui héberge le forum.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - ToyCurvePrimeParameter.pdf (296.7 KB)
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
@Gai-Requin
Je savais bien qu'on apprendrait des choses pas prévues en nous agitant. J'ai raconté une grosse c.nnerie en disant que la $\Q$-isomorphie de deux $\Q$-coniques, ce n'était pas du petit lait in [www.les-mathematiques.net]. A notre Serre, Cours d'arithmétique, chap IV, sections 2 et 3. Un chapitre élégant, remarquable, self contained, sur les formes quadratiques en dimension $n$, y compris sur $\Q$ i.e. l'aspect arithmétique. Le critère de Legendre y figure ($n=3$, $\Q$-coniques), Hasse-Minkowski, Meyer (en dimension $n \ge 5$) ...etc.. Bref, du Serre, un véritable régal.

Et deux formes quadratiques sur $\Q$ sont équivalentes si et seulement si elles le sont sur tous les $\Q_p$ avec $p \le \infty$. Sur $\Q_\infty$, cela donne l'égalité des signatures. On manie des formes quadratiques diagonales $a_1X_1^2 + \cdots + a_nX_n^2$ encodées par un $n$-uplet $(a_1, \cdots, a_n) \in \Q^n$ ou bien une matrice diagonale. Nous, petits joueurs, on fera $n = 3$. Il y a comme invariant le pseudo-discriminant (c'est moi qui dit pseudo), produit de la diagonale : ils doivent être égaux à un carré près de $\Q^*$. Il y a également le $\varepsilon$-invariant pour chaque premier $p$, produit des symboles de Hilbert locaux :
$$
\prod_{i < j} (a_i, a_j)_p \qquad\qquad \hbox {on peut se limiter aux $p$ qui divisent le discriminant, le vrai}
$$
Le rapport avec la choucroute i.e. avec la Toy ? J'y viens. Je recouche $C_{13}$ et $C_0$. Sauf que j'y remplace $p$ par $n$ et que je mentionne la forme diagonale. Attention : il n'y a pas égalité des diagonales à une permutation près.
$$
C_{13} : \quad (n^2+1)x_0^2 = x_1^2 -n x_3^2, \quad C_{13} = (n^2 + 1, -1, n)
\qquad\qquad
C_0 : nx_1^2 = (n^2+1)x_2^2 - x_3^2, \qquad C_0 = (n, -(n^2+1), 1)
$$
Les produit des symboles d'Hilbert ($\varepsilon$-invariant) :
$$
C_{13} : \quad (n^2+1,-1)_p \times (n^2+1, n)_p \times (-1,n)_p, \qquad \qquad\qquad
C_0 : \quad (n,-(n^2+1))_p \times (n,1)_p \times (-(n^2+1),1)_p
$$
On va pas se gêner. On réfléchira plus tard. J'espère que ci-dessous, c'est clair.
// Serre Cours d'arithmétique, chap IV, sections 2,3
EpsilonLocalInvariant := function(a, p)  // a = [a1,a2,a3] 
  a1, a2, a3 := Explode(a) ;
  H := HilbertSymbol ;
  return H(a1,a2, p) * H(a1,a3, p) * H(a2,a3, p) ;
end function ;

C13Coefficients := func < n | [n^2+1, -1,       n] > ;
C0Coefficients := func < n |  [n,     -(n^2+1), 1] > ;
GenericC13 := func < n | Conic(C13Coefficients(n)) > ;
GenericC0 := func < n | Conic(C0Coefficients(n)) > ;
Allons-y avec $n= 45$
 n = 45
> C13 := GenericC13(n) ;
> Equation(C13) ;
2026*X^2 - Y^2 + 45*Z^2
> C0 := GenericC0(n) ;
> Equation(C0) ;
45*X^2 - 2026*Y^2 + Z^2
> 
> // Corollaire p. 78
> // Egalité des invariants d (produit de la diagonale), égalité évidente ici.
> // Signatures : (+, +, -) : pareilles
> 
> // Le discriminant = 4*d-invariant pour tenir compte de p = 2 (Q_2)
> D := Discriminant(C13) ;
> assert D eq 4 * &*C13Coefficients(n) ;
> assert Discriminant(C0) eq D ; // Of course
> 
> // Les invariants epsilon locaux
> PrimeDivisors(D) ;
[ 2, 3, 5, 1013 ]
> eC13 := [EpsilonLocalInvariant(C13Coefficients(n), p) : p in PrimeDivisors(D)] ;
> eC0 := [EpsilonLocalInvariant(C0Coefficients(n), p) : p in PrimeDivisors(D)] ;
> eC13 ;
[ -1, 1, 1, -1 ]
> eC13 eq eC0 ;
true
Egalité de chaque $\epsilon$-invariant local. Bilan : pour $n= 45$, les formes quadratiques $C_{13}(n)$ et $C_0(n)$ sont $\Q$-équivalentes.

Seulement pour $n = 45$ ? Non, car ce genre de truc cela se passe en 5 secondes dans une moulinette infernale $1 \le n \le N$. Qui dit y'a bon. (1sec pour $N=10^3$).

Et qui c'est qui va montrer l'égalité des $\varepsilon$-invariants, hein ? Un retraité, c'est bien connu, pas une minute à soi. Et de toutes façons, qui c'est le responsable de $\Q_p$, ici ? Qui balance des $\Q_p$-points à tire larigot sur le forum depuis des mois ? Ne me fais pas le coup d'avoir égaré Sutherland et/ou perdu le Serre. Et qui c'est qui va mettre en $\Q$-équivalence/isomophie explicite les formes quadratiques $C_{13}, C_0$ ?
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
@Claude : Sympa !
Mais où vas-tu chercher tout ça ?
Je me lancerais bien dans cette affaire tout de suite mais je suis obligé de patienter jusqu'à jeudi ou vendredi. sad smiley
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Resalut gai-requin
Chercher tout cela ? Le hasard, je t'assure. La Toy curve ? Un coup de bol, souviens toi. Et $C_{13}$ versus $C_0$ pour $u = (p,1,1)$, le fait que l'une avait un $\Q$-point exactement quand l'autre en avait un m'a intrigué. J'ai voulu en savoir plus et je me suis souvenu que j'avais un petit livre noir de Serre intitulé ``Cours d'arithmétique'' ...etc..



Je comprends que tu n'as pas le temps en ce moment mais je me permets de revenir sur ton post ce matin à propos de $E_{79}$. Pour te dire que lorsque magma te répond que son rang analytique est 2, il se comporte comme un BOUFFON. Pour la bonne raison, qu'en machine, on ne peut PAS prouver qu'un réel est nul. Par contre, on peut montrer, sous certaines conditions qu'un réel est non nul. On en a déjà parlé, relire ce que l'on a dit. Par exemple, Cohen en bas de la page 583.

Que se passe-t-il ?
> E := ToyEllipticCurve(79) ;
> E ;
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 6243*x^2 + 6242*x over Rational Field
> time Rank(E) ;
Warning: rank computed (1) is only a lower bound
(It may still be correct, though)
1
Time: 1.110
Là, c'est honnête. Je ne sais pas trop d'où il tient cette borne inférieure 1 pour le rang mais passons.
> time AnalyticRank(E) ;
2 16.130
Time: 0.100
Là, c'est un bouffon : il te dit que $L_E(1) = 0$, $L_E^{(1)}(1) = 0$ : impossible à PROUVER. Et $L_E^{(2)}(1)/2! \approx16.130$, ça ok.

Ci-dessous je vais lui faire faire le calcul avec une L-série achetée au super-marché donc pas du tout efficace (préférable d'aller dans une épicerie fine).
> L := LSeries(E) ;
> L ;
L-series of Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 6243*x^2 + 6242*x over Rational Field
> 
> time Evaluate(L, 1) ;
-2.66250397147414821619483771083E-32
Time: 8.490
> time Evaluate(L, 1 : Derivative := 1) ;
1.47115419344274216086935096235E-31
Time: 17.500
> time L2s1 := Evaluate(L, 1 : Derivative := 2) ;
Time: 27.500
> L2s1 ;
32.2590376647152711948069403723
> L2s1/2 ;
16.1295188323576355974034701862
Certes on voit que $L_E(1) \approx 0$ et $L_E^{(1)}(1) \approx 0$, rien de plus. Et $\approx 0$, ce n'est pas $=0$.

Au lieu de jouer les bouffons, il aurait dû te dire ce matin (tu traduiras en anglais) : cher Gai-Requin, tout me laisse croire que le rang analytique est 2, mais je n'en sais rien. De plus, je crois en BSD. Et donc si tu me titilles en me demandant le rang algébrique, Mordell-Weil et tout le truc, je te promets de mettre le PAQUET. Sur les torseurs, je ferais tout mon possible pour trouver des points et les balancer sur la courbe elliptique. En espérant trouver deux points indépendants ... Mais si au bout d'un certain temps, je ne trouve rien, je t'en informerais.

Voilà comment un logiciel non bouffon devrait te parler.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par claude quitté.
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Merci pour l'illustration.

Et j'imagine que pour calculer la valeur exacte de $L_{E_{79}}(1)$ (par exemple) à la main, faut se lever de bonne heure...
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Je ne sais pas trop (= pas du tout) ce que signifie ``à la main'' dans calculer la valeur exacte de $L(E_{79}, 1)$ à la main. Ce que je sais par contre, et cela me prend la tête à chaque fois, c'est qu'une manière de prouver que $L(E_{79}, 1) = 0$, c'est de sortir un point d'ordre infini de $E_{79}/\Q$. Ce qui a été fait d'ailleurs dans le magnifique cadeau concernant la Toy curve $E_{79}$. Et pourquoi que ? D'après le point (1) du th 8.1.8 de la page 522 de Cohen que j'attache : si on avait $L(E_{79}, 1) \ne 0$, alors $E_{79}/\Q$ serait de rang algébrique 0, ce qui n'est pas puisque l'on a exhibé un $\Q$-point non de torsion.

Et donc mon histoire de logiciel bouffon est tout ce qu'il y a de plus sérieux : tant que tu n'as pas vu un point d'ordre infini, méfie toi. On rigolera bien le jour où on trompera le bouffon en lui donnant une courbe elliptique $E/\Q$ de rang algébrique $0$ mais avec une valeur de $L(E,1)$ si petite qu'il fera comme si elle était nulle. Mais évidemment, je ne sais absolument pas comment produire de tels exemples.

A propos de la page 522 attachée. Il y a une page qui suit, la 523 pour ne rien te cacher, que je relis de temps en temps quand l'occasion s'en présente. Et c'est justement l'occasion. Je pense pouvoir dire que je l'ai lue au moins une demi-douzaine de fois (juste cette page 523) et à chaque fois, cela me prend la tête. Et pourtant, c'est écrit de manière vachement rigoureuse et claire par Cohen.



PS : rien à voir. L'origine de la Toy curve ? Vachement simple. On travaillait dans le contexte $e_i-e_j$ sans facteur carré (on n'a pas terminé à ce propos, ah, ah). Et comme je voulais comprendre en quoi c'était important, je me suis dit que c'était bien de prendre un contre-exemple de cette situation. J'ai été au plus simple : $e_1 = 0$, $e_2 = 1$ et $e_3 = e_2 + \text{carré}$ si bien que $e_3-e_2$ est un carré. Fortiche, non ? Et ce carré a pris d'abord le nom de $p_0^2$ puis de $n^2$. C'est tout.


Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
A propos de la $\Q$-équivalence explicite entre les formes quadratiques $C_{13}$ et $C_0$. J'avoue que j'en ai bavé et pourtant je me suis fait aider par le logiciel. Je redonne les formes quadratiques en question
> C0 ;
N*X^2 + (-N^2 - 1)*Y^2 + Z^2
> C13 ;
N*X^2 + (N^2 + 1)*Y^2 - Z^2
Dans C13 que l'on voit, il y a une permutation des variables par rapport à la $C_{13}$ initiale déjà fournie, mais cela ne change pas la $\Q$-équivalence. Ici $N$ est une indéterminée mais il faut penser à $N = n \in \N^*$ et des formes quadratiques rationnelles.

J'ai pensé aux formes normiques de type $abz^2 - ax^2 - by^2 = N(h)$ où $h = xi + yj + zk$, $N$ est la norme, qui débarquent sur le sous-espace pur $H_0$ engendré par $i,j,k$ dans une algèbre de quaternions de paramètres $a, b$ avec $i^2 = a$, $j^2 = b$. Et
$$
abz^2 - ax^2 - by^2 = ab (z^2 - x^2/b - y^2/a) = ab \big(z^2 - b(x/b)^2 - a(y/a)^2 \big) = ab(Z^2 - bX^2 -aY^2)
$$
J'ai travaillé avec $N=5$. Travailler signifie bricoler et surtout me faire aider par le logiciel qui sait reconnaître si deux algèbres de quaternions sont $\Q$-isomorphes et ceci de manière explicite. Cela m'impressionne pas mal. Une fois compris ce qui se passait pour $N = 5$, c'était facile.

Bref, après un certain (?) temps, j'ai obtenu la matrice $M$ de déterminant $-1$ :
> M := Matrix(3, 3, [[-1,0,0], [0,-N,1], [0,-(N^2+1), N]]) ;
> M ;
[      -1          0        0]
[       0         -N        1]
[       0   -N^2 - 1        N]
> Determinant(M) ;
-1
> M^-1 ;
[     -1           0       0]
[      0           N      -1]
[      0     N^2 + 1      -N]
> M^2 ;
[ 1  0  0]
[ 0 -1  0]
[ 0  0 -1]
qui assure l'équivalence entre les deux formes quadratiques :
> assert Evaluate(C0, [-X, -N*Y + Z, -(N^2+1)*Y + N*Z]) eq C13 ;
> C0^M ;
N*X^2 + (N^2 + 1)*Y^2 - Z^2
> C0^M eq C13 ;
true
Gai-Requin : je sais bien que tu es au turbin alors que moi je suis peinard. Mais il fallait que je me débarasse de cela. Quand tu auras le temps, je pense que tu ne feras qu'une bouchée de l'égalité des $\varepsilon$-invariants de $C_{13}$, $C_0$. Il s'agit d'une égalité faisant intervenir 6 symboles d'Hilbert locaux mais toi même pas peur.
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
$\newcommand \trans[1] {{\,^{\rm t}\!#1}}\newcommand\Mat[4]{\left[\matrix {#1&#2\cr#3&#4}\right]}$Salut Gai-Requin
Je reviens sur l'équivalence de $C_0(X,Y,Z)$ et $C_{13}(X,Y,Z)$ car c'est plus simple que prévu (une fois que l'on a la solution) et d'autre part cela se passe en deux variables et pas trois. Du coup, cela a un (petit) impact sur les symboles d'Hilbert. On oublie le passé en posant :
$$
C_{0}(Y,Z) = -(n^2+1)Y^2 + Z^2, \quad D_0 = \Mat{-n^2-1}{0}{0}{1}
\qquad\qquad
C_{13}(Y,Z) = (n^2+1)Y^2 - Z^2, \quad D_{13} = \Mat{n^2+1}{0}{0}{-1}
$$
Donc deux formes quadratiques diagonales en 2 variables $Y,Z$ et leurs matrices. Et cela se passe où ? I.e. que représente $n$ ? N'importe quel anneau commutatif unitaire. Résultat : les deux formes sont spécialement équivalentes i.e. équivalentes via une matrice de déterminant 1. Et le résultat en 3 variables s'en déduit aisément puisque :
$$
C_0(X,Y,Z) = nX^2 + C'_0(Y,Z), \qquad\qquad C_{13}(X,Y,Z) = nX^2 + C'_{13}(Y,Z)
$$
$\bullet$ Justification. Je considère comme par miracle (j'ai fait le job avant) :
$$
P = \Mat{-n}{1}{-n^2-1}{n}, \qquad \det(P) = 1, \qquad \trans{P}^{-1} = \Mat{n}{n^2+1}{-1}{-n}
$$
Il n'y a plus qu'à vérifier que $\fbox {$\trans{P} D_0 P = D_{13}$}$ i.e. $D_0 P = \trans{P}^{-1} D_{13}$ i.e.
$$
\Mat{-n^2-1}{0}{0}{1} \Mat{-n}{1}{-n^2-1}{n} = \Mat{n}{n^2+1}{-1}{-n} \Mat{n^2+1}{0}{0}{-1} \qquad\qquad \text {Et ça le fait !}
$$
$\bullet$ L'impact (très très modéré !) sur les symboles d'Hilbert. Cette fois, on revient dans $\Z$ et $p$ est un nombre premier. Egalité des symboles d'Hilbert :
$$
\big(n^2+1, -1\big)_p = \big(-(n^2+1), 1\big)_p = 1
$$
Mais je constate qu'en fait c'est évident puisque $X^2 = (n^2+1)Y^2 - Z^2$ s'écrit $(n^2+1)Y^2 = X^2 + Z^2$ et a pour solution universelle $Y=1$, $X=n$, $Z=1$.
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Salut Claude,

J'ai enfin fini mon taf administratif et j'en ai profité pour vérifier ton dernier post.
On a bien :$$C_0(-nY+Z,-(n^2+1)Y+nZ)=C_{13}(Y,Z).$$thumbs down
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
$\newcommand \trans[1] {{\,^{\rm t}\!#1}}\newcommand\Mat[4]{\left[\matrix {#1&#2\cr#3&#4}\right]}$Salut Gai-Requin
J'en ai profité (de la pause) pour finaliser ce que j'appelle le contexte $p \mid u_1$ et $p \not\mid q_1$ ($p$ premier impair). Rien de nouveau car toute la technique était dans tes posts sauf que pour moi la conclusion n'était pas bien visible. J'attache le truc.

Quant à la matrice $P$ qui relie $D_0$ et $D_{13}$, je pourrais dire que je l'ai trouvée en la cherchant sous la forme $P =\Mat{a}{b}{c}{d}$, en faisant le pari $\det P = 1$ et en écrivant $D_0 P = \trans{P}^{-1} D_{13} = \trans{\widetilde P} \ D_{13}$
$$
D_0 = \Mat{-n^2-1}{0}{0}{1} \quad D_{13} = \Mat{n^2+1}{0}{0}{-1} \qquad\qquad\qquad
\Mat{-n^2-1}{0}{0}{1}\Mat{a}{b}{c}{d} = \Mat{d}{-c}{-b}{a} \Mat{n^2+1}{0}{0}{-1}
$$
Effectivement, à droite, en identifiant, on arrive à tomber dessus. Mais la vraie vérité, ce n'est pas du tout comme cela que je l'ai trouvée.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - pDIVu1NOTq1.pdf (185.6 KB)
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Tu l'as conjecturée en t'aidant de magma ?

Merci pour pDIVu1NOTq1. winking smiley

Petite question : comme tu as montré que $C_0(n)$ et $C_{13}(n)$ sont $\Q$-équivalentes, les $\varepsilon$-invariants sont forcément égaux pour tout premier $p$ non ?
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
$\newcommand \Legendre[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)}$Je réponds à l'envers

1) Effectivement, $C_0(n)$ et $C_{13}(n)$ étant $\Q$-équivalentes, plus besoin de vérifier l'égalité des $\varepsilon$-invariants locaux. Mais le vérifier ne peut pas faire de mal.
2) Pendant que j'y pense, pour $K$ corps de caractéristique $\ne 2$, et $a,b \in K^*$, on note $\Legendre {a,b}{K}$ l'algèbre de quatermions sur $K$ définie par $i^2 = a$, $j^2 = b$ et $ij = -ji$. La notation n'est pas étrangère au symbole d'Hilbert (prendre $K = \Q_p$, il faudrait développer). On a un isomorphisme
$$
\Legendre {a,b}{K} \otimes_K \Legendre {a',b'} {K} \simeq \Legendre {a,bb'}{K} \otimes_K \Legendre {b',-aa'b'} {K}
$$
Ce qui fait (et est bien plus fort) que $(a,b)_p (a',b')_p = (a,bb')_p (b', -aa'b')_p$. Pas pris le temps de regarder si cela avait un impact par exemple sur $h_{12}h_{13}h_{23}h_0 = 1$.

3) Pour $C_0(n)$, $C_{13}(n)$, deviner ? Oui
> C0 := func < n | Conic([1, n, -(n^2+1)]) > ;
> C13 := func < n | Conic([1, -n, -(n^2+1)]) > ;
> [n : n in [1..60] | HasPoint(C0(n))] ;
[ 1, 4, 7, 9, 15, 16, 20, 24, 25, 32, 36, 39, 40, 41, 49, 55, 56 ]
> [n : n in [1..60] | HasPoint(C13(n))] ;
[ 1, 4, 7, 9, 15, 16, 20, 24, 25, 32, 36, 39, 40, 41, 49, 55, 56 ]
ATTENTION au pata-caisse, pour une conique, du fait que $F = 0$ c'est pareil que $-F = 0$. Pour une conique, pas pour une forme quadratique. Je pense aux formes quadratiques diagonales à 3 variables de coefficients diagonaux
$$
(1, n, -(n^2+1)) \qquad \text {versus} \qquad (-1,n, n^2+1)
$$
J"ai envie d'ajouter : je me comprends. Mais c'est même pas sûr !

4) Deviner la matrice $2 \times2$ $P$ ? Là, cela va être encore pire. J'ai bricolé. Je ne suis même pas sûr de bien comprendre ce que j'ai fait. Ce dont je suis sûr, c'est que je ne vais pas l'expliquer vraiment. Quand même une vérité : $Z^2 - (aX^2 + bY^2)$ se cache (de manière vachement précise) dans l'algèbre de quaternions $\Legendre {a,b}{\Q}$. Je ne me suis pas dégonflé : j'ai fait ce qui vient en me disant que je réfléchirais par la suite. Ce qui m'a pris la tête, c'est cette histoire de $F = -Z^2 + nX^2 + (n^2+1)Y^2$ versus $-F = Z^2 - (nX^2 + (n^2+1)Y^2)$.
> Q := RationalField() ;                    
> n := 5 ;
> a := -n ; b := n^2 + 1 ;
> H1<i,j,k> := QuaternionAlgebra <Q | a,b> ;
> A := n ; B := n^2+1 ;  
> H2<I,J,K> := QuaternionAlgebra <Q | A,B> ;
> ok, H1toH2 := IsIsomorphic(H1, H2 : Isomorphism := true) ;
> ok ;
true
> H1toH2(i) ;
5*I - K
> H1toH2(j) ;
J
> H1toH2(k) ;
-26*I + 5*K
Les 2 algèbres sont isomorphes, ce que j'attendais. Et je savais que cela ferait du bien. Et dans l'isomorphisme, on voit les coefficients :
$$
\left[ \matrix { n & 0 & -1 \cr 0 & 1 & 0 \cr -(n^2+1) & 0 & n} \right]
$$
A ce moment là, je me suis mis à réfléchir un peu plus. Et j'ai fini, tant bien que mal, par isoler les 4 coefficients de la matrice $P$, avec un changement de signes quelque part. Gros bricolage ? Oui, mais ça a fini par donner.
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Ah le structurel. confused smiley
Mais les croyants sont les forts :$$\begin{eqnarray}(a,bb')_p(b',-aa'b')_p&=&(a,b)_p(a,b')_p(b',a)_p(b',a')_p(b',-b')_p
\\&=&(a,b)_p(a',b')_p.\end{eqnarray}$$
Une petite question hors sujet : le programme suivant ne tourne pas en maple.

f:=proc(n)
n:=n+1;
n;
end proc;

Est-ce qu'il peut tourner dans un autre langage ?
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
A propos de ton programme maple qui ne ``tourne pas'' : quelle sémantique voudrais tu lui donner ? Est ce que la proc f est perçue (par toi) comme une fonction ? Si oui, comment se fait-il que le résultat retourné ne soit pas visiblement spécifié (par un return par exemple, même si le langage ne l'impose pas mais moi si) ? ....etc...
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Salut Claude,

Maple refuse qu'à l'intérieur d'une procédure qui dépend d'un paramètre $n$, on modifie $n$.
La procédure suivante fait le job :

f:=proc(n)
local N;
N:=n+1;
Return N;
end proc;

Note : Je pose la question parce que j'ai vu un algorithme dans un sujet de bac qui modifie un paramètre $a$. J'ai alors codé cet algorithme en maple et, à l'exécution, il y a eu un message d'erreur.
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Un algorithme dans un sujet de bac ? J'ai du mal à le croire mais par ailleurs, je comprends bien que l'on vit une époque formidable. On peut en savoir plus ? Ce que j'en dis : par principe, c'est une très mauvaise idée de modifier les paramètres entrants d'un algorithme. Je dis bien par principe mais il faut voir.

Quant à maple, ce que tu me dis, ``je le savais''.
Remarque 1 : return et pas Return. Et pourquoi pas tout simplement ?
f := proc(n) return n+1 ; end proc ;
Remarque 2 : je suppose que l'algorithme en question était plus compliqué que cela ?
Remarque 3 : maple est un langage symbolique, et il est difficile de le prendre comme modèle pour ...etc...
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Oui, c'était l'algorithme des différences pour le calcul des quotient et reste d'une division euclidienne de deux entiers naturels.
L'énoncé était :

a et b entiers naturels, b non nul
c:=0
Tant que a>=b
c:=c+1
a:=a-b
Fin Tant que
Afficher c et a
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Personnellement, je ne trouve cela pas trop top. Et ce n'est pas le job d'un algorithme ``d'afficher'' quelque chose (on ne sait d'ailleurs pas trop sur quel support physique : s'agit-t-il d'une omoplate de chameau ? probablement pas important). Je suis de la vieille école : un algorithme a des données et produit des résultats (qui doivent être spécifiés). Produire et afficher, ce n'est pas du tout la même chose.

Mode apprentissage de l'algorithmique, vieille école. Précision : ci-dessous entier signifie entier naturel. Je mentionne en rouge ce qui n'est pas instruction(s) (statuts, invariants, commentaires ...etc..). Un truc dans ce genre là.
Données : a,b deux entiers, b non nul
Résultat : un couple (q,r) d'entiers vérifiant a = bq + r et 0 <= r < b
r := a ;  q := 0 ;
q,r entiers, a = bq + r
tant que r >= b faire
Invariants : q,r entiers, a = bq + r = b(q+1) + r-b
   q := q + 1 ;
   r := r - b ;
fin tant que 
q,r entiers, a = bq + r et 0 <= r < b
retourner le résultat (q,r) 
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Citation
Claude
Personnellement, je ne trouve cela pas trop top.

Tu es bien gentil. winking smiley
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Gai requin,

je ne sais pas ce que c'est que "proc" mais sous sage :
sage: def car_poly(P,Q):
....:     Mp = companion_matrix(P)
....:     Mq = companion_matrix(Q)
....:     Ip = Mp.parent().one()
....:     Iq = Mq.parent().one()
....:     M  = Mp.tensor_product(Iq)+Ip.tensor_product(Mq)
....:     P = M.characteristic_polynomial()              <----- aucune utilité mais c'est pour tester
....:     return P
....:
sage: P = x^3-3
sage: Q = x^2-2
sage: car_poly(P,Q)
x^6 - 6*x^4 - 6*x^3 + 12*x^2 - 36*x + 1
sage: P                         <----- il n'a pas changé P 
x^3 - 3
sage: Q
x^2 - 2

Je pense que toute les variables externes sont protégées du programme mais elles peuvent être utilisées par le programme !

$\def\G{\mathbb{K}}$



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par moduloP.
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Merci moduloP !

Bref, comme dit Claude, c'est une très mauvaise idée de modifier les entrées d'un programme.

@Claude : J'ai appris à programmer au début des années 90 en Pascal. On avait des interros sur machine et d'autres sur papier avec obligation de démontrer les algorithmes qu'on créait.
Donc je suis plutôt de la vieille école.

Par ailleurs, sur le sujet des courbes elliptiques moins polémique, je trouve effectivement qu'on y voit beaucoup plus clair depuis qu'on écrit des pdf.
Comme je n'en ai produit qu'un seul thumbs up, je suis motivé pour en faire un autre.
Mais peut-être souhaiterais-tu qu'un point particulier soit mis au propre ?
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
$\def\Sel{\text{Sel}^{(2)}}$Je n'ai pas d'idées. Je crois que l'on a fait le maximum de ce que l'on pouvait faire. Ci-dessous, un exemple pourri où tout repose sur le premier 2 :
$$
e_1 = 0, \quad e_2 = 2, \quad e_3 = 4, \qquad \qquad \#U_\infty = 8, \qquad \#\Sel(E) = 4
$$
Le premier $2$ because les $e_i - e_j$. Le 2-Selmer est réduit à la torsion. Et quand $Q_u$ n'est pas localement soluble, c'est qu'elle n'est pas $\Q_2$-soluble (pardi : 2 est le seul premier concerné). Et pourtant les 4 coniques $C_{ij}$ et $C_0$ à chaque fois possèdent un $\Q$-point (je dis bien un $\Q$-point global).
e1 := 0 ; e2 := 2 ; e3 := 4 ;
Uoo := UooCoefficients(e1,e2,e3) ;  printf "Uoo = %o\n", Uoo ;
T := Selmer2Torsion(e1,e2,e3) ;     printf "T = %o\n", T ;
S := MySelmer(e1,e2,e3) ;           printf "S = %o\n\n", S ;
UooMinusS := [u : u in Uoo | u notin S] ;
for u in UooMinusS do
  C, q := C12C13C23(e1,e2,e3, u) ;
  printf "u = %-20o q = %o\n", u, q ;
  C12,C13,C23 := Explode(C) ;
  u1,u2,u3 := Explode(u) ;  q1,q2,q3 := Explode(q) ;
  C0 := q1*x1^2 - (q2*x2^2 - q3*x3^2) ;
  printf "C12 = %-25o C13 = %-25o C23 = %-25o C0 = %o\n", C12, C13, C23, C0 ;
  Qu := Curve(P3, [C12,C13,C23]) ;
  MQu := GenusOneModel(Qu) ;
  assert not IsLocallySoluble(MQu,2) ;

  Co12 := Conic([q3, -u2, u1]) ;   assert HasPoint(Co12) ;
  //C12, Equation(Co12) ;
  Co13 := Conic([q2, -u3, u1]) ;   assert HasPoint(Co13) ;
  //C13, Equation(Co13) ;
  Co23 := Conic([q1, -u3, u2]) ;   assert HasPoint(Co23) ;
  //C23, Equation(Co23) ;
  Co0 := Conic([q1, -q2, q3]) ;    assert HasPoint(Co0) ;
  //C0, Equation(Co0) ;
end for ;
Voilà ce que cela donne. J'espère que c'est assez clair
Uoo = [ <-1, 1, 1>, <-2, 1, 1>, <1, 1, 1>, <2, 1, 1>, <-1, 2, 1>, <1, 2, 1>, <-1, 1, 2>, <1, 1, 2> ]
T = [ <-1, 1, 2>, <-1, 2, 1>, <2, 1, 1> ]
S = [ <1, 1, 1>, <2, 1, 1>, <-1, 2, 1>, <-1, 1, 2> ]

u = <-1, 1, 1>           q = <-2, 4, 2>
C12 = 2*x0^2 - x1^2 - x2^2   C13 = 4*x0^2 - x1^2 - x3^2   C23 = -2*x0^2 - x2^2 + x3^2  C0 = -2*x1^2 - 4*x2^2 + 2*x3^2
u = <-2, 1, 1>           q = <-1, 4, 2>
C12 = 2*x0^2 - x1^2 - 2*x2^2 C13 = 4*x0^2 - x1^2 - 2*x3^2 C23 = -x0^2 - x2^2 + x3^2    C0 = -x1^2 - 4*x2^2 + 2*x3^2
u = <1, 2, 1>            q = <2, 2, 2>
C12 = 2*x0^2 - 2*x1^2 + x2^2 C13 = 2*x0^2 - x1^2 + x3^2   C23 = 2*x0^2 - x2^2 + 2*x3^2 C0 = 2*x1^2 - 2*x2^2 + 2*x3^2
u = <1, 1, 2>            q = <2, 4, 1>
C12 = x0^2 - x1^2 + x2^2     C13 = 4*x0^2 - 2*x1^2 + x3^2 C23 = 2*x0^2 - 2*x2^2 + x3^2 C0 = 2*x1^2 - 4*x2^2 + x3^2
C'est facile de vérifier que toutes les coniques ont un $\Q$-point. Par contre, pas pris le temps de comprendre pourquoi les $Q_u$ n'ont pas de $\Q_2$-point (je dis pas pris le temps mais la vérité, c'est que cela m'agace un tantinet).
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Exemple intéressant !
Parce qu'on dispose de quatre $Q_u$ localement solubles pour tout $p\leq\infty$ sauf en $p=2$.

Et cela me fait penser au cas $D$ pair traité par Monsky.
Du coup, je vais regarder à nouveau ce passage de l'appendice et si je parviens à comprendre quelque chose, j'écris une note.
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
$\def\P{\mathbb P}$Salut Gai Requin

0. Cela te fait penser à Monsky $D$ pair ? Normal, car C'EST Monsky $D=2$ pour la bonne raison que $(e_1,e_2,e_3) = (0,2,4)$, c'est la même chose que $(e_1,e_2,e_3) = (-2,0,2) = (-D,0,D)$ avec $D = 2$. Seules les différences $e_i-e_j$ interviennent, donc on peut faire une translation sur les $e_i$, ici soustraction de $2$.

1. On a des morphismes de réduction $\P^3(\Q_2) \to \P^3(\Z/4\Z)$, $\P^3(\Q_2) \to \P^3(\Z/8\Z)$ ...etc.. Ici $\P^3(R)$ est à prendre au sens points unimodulaires. En ce qui concerne mon post précédent, je m'attendais à une obstruction modulo 8 pour les quatre intersections $Q_u$ de quadriques non $\Q_2$-solubles. Mais en fait, aucune ne possède un point sur $\Z/4\Z$. A vérifier quand même. J'en remets une couche mais point sur $\Z/4\Z$ est à prendre au sens point unimodulaire (c'est plus qu'important ici).

2. Revisiter Monsky $E_D : y^2 = x(x-D)(x+D)$ pour $D = 2D_0$ pair sans facteur carré ? Bonne idée. Car on va voir apparaître un facteur $8$ entre son $(a,b)$-sac $G' \times G$ et notre $u$-sac $U_\infty$. Et ce 8 est à comprendre comme $8 = 2 \times 4$ :
$$
2 : \quad \begin {array} {l}
\hbox {Monsky a écarté des} \\
\hbox {fruits pourris de son sac} \\
\end {array}
\qquad\qquad\qquad
4 : \quad \begin {array} {l}
\hbox {Monsky a divisé son sac par} \\
\hbox {la 2-torsion de cardinal 4} \\
\end {array}
$$
De manière précise en prenant ses notations i.e. $G$ est l'ensemble des diviseurs $b > 0$ de $D_0$ et $G'$ l'ensemble des diviseurs $a$ de $D_0$, $>0$ ou $<0$ mais vérifiant $a \equiv 1 \bmod 4$. Et $G',G$ sont munis de leur structure de groupes via la partie sans facteur carré du produit (note $D_0$ est sans facteur carré). Et le lien entre les sacs est :
$$
G' \times G \to U_\infty, \qquad (a,b) \mapsto \left (u_1 = {a\over a\wedge b}, \ u_2 = {b \over a \wedge b},\ u_3 = a\wedge b\right)
$$
C'est un morphisme injectif. Et au niveau des intersections de quadriques, c'est $C_{12}, C_{2,3}$ qui pilotent. Retrouver un certain post (qui date de quelques mois) concernant l'adéquation entre Monsky et nous autres.

3. A propos de $8 = 2 \times 4$, suite. Je note $M_\infty \subset U_\infty$ l'image par le morphisme injectif ci-dessus, M pour Monsky. $M_\infty$ est facile à caractériser : $u_2$ impair, et $u_1 u_3 \equiv 1 \bmod 4$. De plus, en désignant par $T = \{t_0, t_1, t_2, t_3\} \subset U_\infty$ l'image de la 2-torsion, on a $M_\infty \cap T = \{1\}$ où $1$ est le neutre de $U_\infty$ i.e. $1 = t_0 =_{\rm def} (1,1,1)$. Note :
$$
t_1 = (-D_0, 1, 2)_u, \qquad t_2 = (-1, D, 1)_u, \qquad t_3 = (2, 1, D_0)_u, \qquad \qquad \text {(c'est du u-code)}
$$
C'est dans l'ordre de $(e_1, e_2, e_3) = (-D, 0, D)$ i.e. $t_i$ est l'image du point de 2-torsion $(x=e_i, y=0)$ de $E_D$.
On récupère ainsi un sous-groupe $V_\infty = M_\infty \cdot T$. Ca, c'est le facteur 4.

4. Facteur 2 et fruits pourris. Si $k$ est le nombre de diviseurs premiers de $D$ (y compris le premier 2), on a :
$$
\#U_\infty = 2^{2k + 1}, \qquad \#(G' \times G) = 2^{2(k-1)} , \qquad \#V_\infty = 2^{2k} \qquad
\text{donc} \quad V_\infty \text{ est d'indice 2 dans } U_\infty
$$
Et c'est là que l'on voit la différence entre l'expert en fruits qu'est Monsky et nous-autres : il a écarté de son sac ce qui correspond chez nous à $U_\infty \setminus V_\infty$ pour la bonne raison que les $Q_u$ de $U_\infty \setminus V_\infty$ ne sont PAS $\Q_2$-solubles. Mais grosse subtilté, il reste dans $V_\infty$ des $Q_u$ NON localement $\Q_2$-solubles. Il a donc écarté de son sac des fruits pourris qu'il a détecté à l'oeil nu. J'ai mis $V_\infty$ mais j'aurais pu mettre $M_\infty$. Et en même temps, il a divisé la taille de notre sac par 4, et donc il gagne sur toute la ligne.

5. Je suis loin de savoir montrer tout ce que j'affirme. Je ne sais même pas caractériser $V_\infty$ à l'intérieur de $U_\infty$. Surveiller de près ce que je raconte.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par claude quitté.
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux mois
Salut Claude,

Il me paraît intéressant de comprendre Monsky puis de suivre ton point 3) pour la correspondance $Q_{a,b}\leftrightarrow Q_u$.
D'ailleurs, merci de l'avoir explicitée. thumbs down
Je suis un peu au bout du rouleau donc je n'ai pas encore regardé mais c'est aujourd'hui le dernier jour de cours. cool smiley

Pour le reste, je ne sais pas trop ce que signifie point sur $\Z/4\Z$ au sens unimodulaire.
En fait, je ne suis même pas certain d'avoir rencontré la notion d'espace projectif sur un anneau commutatif quelconque. confused smiley
Re: $y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente
il y a deux semaines
Bonsoir Claude,

En découvrant ton fil, j'apprends qu'il y a une théorie de la descente pour les courbes elliptiques. As-tu de bonnes références à conseiller à ce sujet?

Bonne soirée (nuit?).

Ajout: Pour les références, je précise que je suis à l'aise avec le langage moderne de la géométrie algébrique donc ne me cache rien smiling bouncing smiley.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Gaussien.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 136 325, Messages: 1 317 851, Utilisateurs: 24 014.
Notre dernier utilisateur inscrit Matlac.


Ce forum
Discussions: 5 042, Messages: 60 987.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page