$y^2 = x(x^2 + 3x + 1)$ et 2-descente

$\def\F{\mathbb F}\def\Disc{\text{Disc}}\def\Res{\text{Res}}$Salut Gai-Requin
J'ai réussi à retrouver ce fil. Hier soir, dans un fil en arithmétique, j'ai raconté une grosse c.nnerie en prétendant qu'il serait difficile de montrer qu'une certaine équation diophantienne cubique n'avait pas de solution sur $\Z$. Mais cela m'a été utile : cela permet de produire des cubiques solubles sur tous les $\Q_p$ sauf sur un $\Q_{p_0}$ ; à fortiori non $\Q$-soluble. On avait vu ce genre de gags mais pas pour les cubiques.

Je note $S_{a,b,c}$ la cubique projective de Selmer $ax^3 + by^3 + cz^3 = 0$. Ici on travaille sur $\Q$ et $a,b,c$ sont des entiers non nuls. L'énoncé est le suivant : $p,q,r$ trois premiers distincts vérifiant :
$$
p \equiv 1 \bmod 3, \qquad q,r \not\equiv 1 \bmod 3, \qquad q^2 r \text { NON cube modulo } p
\qquad \text {(pareil que } r^2 q \text { NON cube modulo } p)
$$
Pareil parce que $(q^2r)(r^2q)$ est un cube, à savoir le cube de $qr$.
Alors $S_{p,q,r}$ est soluble sur tous les $\Q_{p'}$ SAUF sur $\Q_p$. En $p$, en fait pas de solution sur $\Z/p^2\Z$. A fortiori pas $\Q$-soluble. Exemples : $(p,q,r) = (7,5,11), (13,5,11)$ (le triplet d'hier soir).
Quelques justifications.

1. Le discriminant de $S_{a,b,c}$. Là j'ai un souci : je trouve $3^{11}(abc)^4$ et magma me donne $-3^9 (abc)^4$. A éclaircir. Mais cela ne change rien concernant les premiers $p$ à examiner en ce qui concerne la $\Q_p$-solubilité : les diviseurs premiers de $a,b,c$ et $3$. Rappel : si $p$ ne divise pas le discriminant, alors $S_{a,b,c}$ est $\Q_p$-soluble.

2. Un résultat général. Soit $q$ une puissance d'un premier vérifiant $q \not\equiv 1 \bmod 3$. Alors $x \to x^3$ est une bijection de $\F_q$ sur lui même. Explication : puisque $3 \wedge (q-1) = 1$, il y a un entier $e$ tel que $3e \equiv 1 \bmod p-1$, ce qui fait que $x^{3e} = x$ y compris en $x = 0$. Ainsi $x \mapsto x^3$ et $x \mapsto x^e$ sont des bijections de $\F_q$ réciproques l'une de l'autre.

3. Retour à notre affaire. Solubilité sur $\Q_q$. On travaille d'abord sur $\F_q$. L'équation se réduit à $px^3 + rz^3 = 0$. On considère d'abord les points de $pX + rZ = 0$, donc les $(-r : y : p)$, $y \in \F_q$, en nombre $q$ plus le point $(0 : 1 : 0)$. Donc en tout $q+1$ points sur $\F_q$. Et on prend la racine cubique $\root 3 \of \bullet$ de chaque coordonnée. J'ai alors croisé les doigts en me disant qu'il y aurait bien un point qui se laisserait lifter par Hensel à $\Q_q$. Mais il faudrait vraiment faire le boulot en examinant les dérivées partielles. Une petite vérification quand même en $q$, en $r$ (pareil) et pendant que nous y sommes en $3$

[color=#000000]> S := GenusOneModel([k| p,q,r, 0^^7]) ;
> S ;
Genus one model of degree 3 defined over Rational Field given by  7*x^3 + 5*y^3 + 11*z^3
> assert Discriminant(S) eq -3^9 * (p*q*r)^4 ;
> 
> IsLocallySoluble(S,q) ;
true (-20721706459297 + O(5^20) : O(5^20) : 1 + O(5^20))
> IsLocallySoluble(S,r) ;
true (297604093030797674038 + O(11^20) : 1 + O(11^20) : O(11^20))
> IsLocallySoluble(S,3) ;
true (13886307967 + O(3^24) : O(3^24) : 1 + O(3^24))
[/color]

Pendant que j'y suis, on peut vérifier le comptage des points. D'abord, on remonte la cubique à $\Z$ pour la voir comme un schéma que l'on pourra réduire modulo un premier (de $\Q$ à $\F_p$, cela ne le fait pas).

[color=#000000]> P2xyz<x,y,z> := ProjectiveSpace(IntegerRing(), 2) ;
> F := CoordinateRing(P2xyz)!Equation(Curve(S)) ;
> C := Scheme(P2xyz, F) ;
> C ;
Scheme over Integer Ring defined by 7*x^3 + 5*y^3 + 11*z^3
[/color]

Sur $\F_q$ puis sur $\F_r$ :

[color=#000000]> Cq := BaseChange(C, GF(q)) ;
> Points(Cq) ;
{@ (3 : 0 : 1), (3 : 1 : 1), (3 : 2 : 1), (3 : 3 : 1), (3 : 4 : 1), (0 : 1 : 0) @}
> #Points(Cq) eq q+1 ;
true
> 
> Cr := BaseChange(C, GF(r)) ;
> Points(Cr) ;
{@ (0 : 0 : 1), (5 : 1 : 1), (10 : 2 : 1), (4 : 3 : 1), (9 : 4 : 1), (3 : 5 : 1), (8 : 6 : 1), 
(2 : 7 : 1), (7 : 8 : 1), (1 : 9 : 1),  (6 : 10 : 1), (5 : 1 : 0) @}
> #Points(Cr) eq r+1 ;
true
[/color]

4. Mais le sel de l'affaire arrive maintenant. Quid sur $\Q_p$, sur $\F_p$ ? Sur $\F_p$, cela se réduit à $qy^3 + rz^3 = 0$. Mais modulo $p$, $q^{-1} \times (-r)$ n'est pas un cube. Pareil que $q^{-1} r$ n'est pas un cube, pareil que $q^2r$ n'est pas un cube, ce qui est l'hypothèse. Bilan : $y = z = 0$ dans $\F_p$. I.E. un SEUL point $(1 : 0 : 0)$.
Que Hensel ne peut pas relever. Pour la bonne raison que cet unique point ne se relève pas modulo $p^2$. Si c'était le cas, on aurait un point modulo $p^2$ du type $(1 + ap : bp : cp)$ à cause de l'unique point sur $\F_p$. Mais on doit avoir :
$$
p (1+ap)^3 + q(bp)^3 + r(cp)^3 \equiv 0 \bmod p^2
$$
Mais un examen facile montre que le membre gauche est $\equiv p \bmod p^2$. Bilan : pas de point sur $\Z/p^2\Z$.

[color=#000000]> Cp := BaseChange(C, GF(p)) ;
> Points(Cp) ;
{@ (1 : 0 : 0) @}
> IsLocallySoluble(S,p) ;
false
[/color]

5. Retour sur le discriminant. Là cela me fait ch.er, je ne peux pas laisser passer cela. Ci-dessous $P$ c'est $aX^3 + bY^3 + cZ^3$. Son discriminant s'exprime à l'aide du résultant des dérivées partielles :
$$
3 \times \Disc(P) = \Res(D_XP, D_Y P, D_ZP) = \Res(3aX^2, 3bY^2, 3cZ^2) = (3a)^{\widehat {d_1}} (3b)^{\widehat {d_2}} (3c)^{\widehat {d_3}}
$$
Explication : le résultant est de type (les degrés) $(d_1=2, d_2=2, d_3=2)$ et les $\widehat {d_i}$, c'est le produit des $d_j$ sauf $d_i$, ce qui fait que $\widehat {d_i} = 4$. Ce qui donne à gauche $3^{4+4+4} (abc)^4$. Et conduit à $\Disc(P) = 3^{11} (abc)^4$.
C'est quoi le problème ? Le discriminant d'un modèle cubique (de genre 1) n'est pas le discriminant du polynôme qui le définit ? Au secours.

$\def\F{\mathbb F}\def\Disc{\text{Disc}}$@Gai-Requin
J'ai écrit cela vite fait et comme d'habitude, pour vraiment finaliser le truc, cela demanderait du boulot. C'est de la dentelle, on ne peut pas faire les choses de manière approximative.

A. Tu as raison en ce qui concerne ton exemple $(p = 7, q = 3, r = 29)$. Cependant, magma me dit que $7x^3 + 3y^3 + 29z^3 = 0$ est localement soluble en $3$. Et il faudrait de nouveau s'investir sur Hensel. En commençant peut-être par Newton, lorsque la dérivée en le point d'approximation est nulle modulo ... mais pas trop nulle. Il faudrait trouver le courage de .. Il y des jours où ....

B. Dans le point 4. j'ai été un peu vite car sur $\F_p$, le point $(1 : 0 : 0)$, c'est aussi $(k : 0 : 0)$ avec $k \in \F_p^*$ que je relève en $k \in \Z$ non nul modulo $p$. Et là où j'ai mis $1 + ap$, il faut mettre $k + ap$. Mais cela ne change rien au raisonnement : pas de point sur $\Z/p^2\Z$.

C. En ce qui concerne le discriminant, j'ai constaté ce jour ma naïveté. Si $P \in k[X,Y,Z]_3$ est un polynôme homogène de degré 3 et $C : P = 0$ la cubique associée, alors le discriminant $\Delta$ de $C$ est relié au discriminant de $P$ par :
$$
\Disc(P) = -3^2 \Delta
$$
Pourquoi ? Parce des personnes (les anciens mais pas que) ont suffisamment bossé pour définir la bonne notion de discriminant $\Delta$ d'une cubique. Via $\Delta = (c_4^3 - c_6^2) / 1728$. En c'est encore de la dentelle. On peut faire par exemple confiance à Tom Fischer in https://www.dpmms.cam.ac.uk/~taf1000/papers/g1inv.pdf
Voilà un exemple qui montre qu'il ne faut pas rigoler : c'est un modèle dit de Desboves (par rapport à une cubique courte de Selmer il y a un terme en $xyz$ en plus).

[color=#000000]> C := GenusOneModel([5, 7, 11, 0^^6, 2]) ;                                    
> C ;
Genus one model of degree 3 defined over Integer Ring given by 
5*x^3 + 2*x*y*z + 7*y^3 + 11*z^3
> Delta := Discriminant(C) ;
> Delta ;
-433447522518395
> Factorization(Delta) ;
[ <5, 1>, <7, 1>, <11, 1>, <101, 3>, <103, 3> ]
> P<X,Y,Z> := Equation(Curve(C)) ;
> P ;                                                                          
5*X^3 + 2*X*Y*Z + 7*Y^3 + 11*Z^3
> ResP := ResultantByMacaulay([D(P,X), D(P,Y), D(P,Z)]) where D is Derivative ;
> DiscP := ExactQuotient(ResP, 3) ;
> Factorization(DiscP) ;                                                       
[ <3, 2>, <5, 1>, <7, 1>, <11, 1>, <101, 3>, <103, 3> ]
> DiscP ;
3901027702665555
> DiscP eq -3^2 * Delta ;
true
[/color]

Le discriminant de $P$ n'est pas du bon signe (par rapport à $\Delta$) et contient 3 comme premier parasite (qui n'est pas dans $\Delta$). On ne peut pas faire dans l'approximation (bis).

Avec $F(X) = 7X^3 - 29$ et $x_0=2$, tu as utilisé $v_3(F(x_0)) = 3 > 2 v_3(F'(x_0)) = 2$. A l'époque, est ce que l'on avait parlé de références sur Hensel ? Sutherland ? Je ne me souviens plus.