Divisibilité par 7

Jodie
Jodie
dans Arithmétique
Salut !
J'aimerais bien si quelqu'un peut m'aider à résoudre cet exercice :)

Pour tout entier $n$ strictement positif, quel est le reste de la division de $\ \dfrac{(7n)!}{7^{n}.n!}\ $ par $7$ ?

Réponses

  • marco
    marco
    Bonjour,

    $\frac{(7n)!}{7^n n!}=(1\times 2\times \dots \times 6)\times (8 \times \dots \times 13) \times \dots ((7(n-1)+1) \times \dots \times (7n-1))$.
    Ensuite, on réduit cette expression modulo $7$ en exprimant le reste de l'expression modulo $7$ en fonction de $6!$.
    Puis on applique le théorème de Wilson.
  • Jodie
    Jodie
    Quel est le théorème de [large]W[/large]ilson ?

    [John Wilson (1741-1793) prend toujours une majuscule. AD]
  • Jodie
    Jodie
    Le reste sera $(-1)^{n}$ ?
  • Poirot
    Poirot
    C'est ça :-)

    Problème amusant.
  • uvdose
    uvdose
    Juste pour chipoter, c'est plutôt $\dfrac{7+5\times(-1)^{n+1}}{2}$ ;-)
  • Jodie
    Jodie
    Merci infiniment pour vous :-)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 8

8 Invités