Nombres riches en diviseurs

C'est plus facile de le réfuter...
Si je comprends bien, le dessin que tu fais représente les points $(k,\sigma_0(k))$ avec les records / ploutons reliés en rouge : cette ligne brisée n'est pas (le graphe d'une fonction) concave (ni convexe) – le démenti arrive juste après que tu t'es arrêté, à cause de $60$ qui a vraiment beaucoup de diviseurs. Si à l'abscisse $k$, on met en ordonnée le $k$-ième plouton, ce n'est pas convexe (ni concave).

Y a-t-il un lien entre les ploutons et les demi-sommes de premiers jumeaux ? Dans la suite $ 12, 24, 36, 60 $ on obtient le double des premiers multiples de $ 6 $ soit $ 6k $ tels que $ 6k-1 $ et $ 6k+1 $ sont premiers.

Nombres de la forme $12k$ tels que $6k\pm1$ sont premiers (en gras, les ploutons) :

[ [b]12[/b], [b]24[/b], [b]36[/b], [b]60[/b], 84, [b]120[/b], 144, 204, 216, 276, 300, [b]360[/b], 384, 396, 456]

Ploutons qui sont de la forme $12k$ avec $6k\pm1$ tous deux premiers :

[12, 24, 36, 60, 120, 360, 840, 15120, 110880, 221760, 1081080]

soit 11 tels ploutons sur les 40 premiers ploutons.
On doit pouvoir en déduire que non, ces deux choses n'ont pas grand-chose à voir.

PS : Pour le dire autrement, contre-exemples à cette conjecture :

[48, 180, 240, 720, 1260, 1680, 2520, etc.]

Peut-être que tu aurais pu vérifier pour $48=23+5\times5$ et $180=89+7\times13$, voire $240=119+11\times11$. Sur les 37 premiers ploutons plus grands que $6$, il y a quand même 26 contre-exemples.

Bien sûr mais le graphe jusqu'à $1{,}4\cdot10^6$ me laisse peu d'espoir. Je parierais plutôt sur le fait qu'il y a des bosses régulièrement, même si « la forme générale est plutôt convexe ».