Nombres riches en diviseurs
dans Arithmétique
Bonjour.
L'aînée de mes petites-filles vient d'avoir douze ans et je lui ai dit que c'était un nombre riche en diviseurs, c'est-à-dire qui a plus de diviseurs que les entiers positifs plus petits que lui.
La suite de ces « ploutons » est : 1, 2, 6, 12, 24, 36, ... C'est la A002182 de l'OEIS https://oeis.org/A002182.
Une représentation graphique me donne à penser que c'est une suite concave. Peut-on le prouver ?
Bonne journée.
Fr. Ch.
L'aînée de mes petites-filles vient d'avoir douze ans et je lui ai dit que c'était un nombre riche en diviseurs, c'est-à-dire qui a plus de diviseurs que les entiers positifs plus petits que lui.
La suite de ces « ploutons » est : 1, 2, 6, 12, 24, 36, ... C'est la A002182 de l'OEIS https://oeis.org/A002182.
Une représentation graphique me donne à penser que c'est une suite concave. Peut-on le prouver ?
Bonne journée.
Fr. Ch.
Réponses
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C'est plus facile de le réfuter...
Si je comprends bien, le dessin que tu fais représente les points $(k,\sigma_0(k))$ avec les records / ploutons reliés en rouge : cette ligne brisée n'est pas (le graphe d'une fonction) concave (ni convexe) – le démenti arrive juste après que tu t'es arrêté, à cause de $60$ qui a vraiment beaucoup de diviseurs. Si à l'abscisse $k$, on met en ordonnée le $k$-ième plouton, ce n'est pas convexe (ni concave).
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Zut, je manque de moyens modernes de conjecture.
Merci de m'avoir ainsi détrompé.
Bonne journée.
Fr. Ch. -
Y a-t-il un lien entre les ploutons et les demi-sommes de premiers jumeaux ? Dans la suite $ 12, 24, 36, 60 $ on obtient le double des premiers multiples de $ 6 $ soit $ 6k $ tels que $ 6k-1 $ et $ 6k+1 $ sont premiers.
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Ou pour le dire autrement : un entier plouton plus grand que 6 est la somme de deux premiers jumeaux. Un contre-exemple ?
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Nombres de la forme $12k$ tels que $6k\pm1$ sont premiers (en gras, les ploutons) :
[ [b]12[/b], [b]24[/b], [b]36[/b], [b]60[/b], 84, [b]120[/b], 144, 204, 216, 276, 300, [b]360[/b], 384, 396, 456]
Ploutons qui sont de la forme $12k$ avec $6k\pm1$ tous deux premiers :[12, 24, 36, 60, 120, 360, 840, 15120, 110880, 221760, 1081080]
soit 11 tels ploutons sur les 40 premiers ploutons.
On doit pouvoir en déduire que non, ces deux choses n'ont pas grand-chose à voir.
PS : Pour le dire autrement, contre-exemples à cette conjecture :[48, 180, 240, 720, 1260, 1680, 2520, etc.]
Peut-être que tu aurais pu vérifier pour $48=23+5\times5$ et $180=89+7\times13$, voire $240=119+11\times11$. Sur les 37 premiers ploutons plus grands que $6$, il y a quand même 26 contre-exemples. -
On peut tout de même modifier la question de Chaurien en se demandant si ledit graphique est convexe à partir d'un certain rang.
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Bien sûr mais le graphe jusqu'à $1{,}4\cdot10^6$ me laisse peu d'espoir. Je parierais plutôt sur le fait qu'il y a des bosses régulièrement, même si « la forme générale est plutôt convexe ».
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