Une simple courbe elliptique

df · August 2018

Bonjour à tous
Trouver une transformation bilinéaire de la forme
\begin{equation}
\displaystyle (x,y) \mapsto (\alpha x + \beta y, \: \gamma x + \delta y)
\end{equation} qui transforme la courbe
\begin{equation}
\displaystyle y^2 + axy + by = x^3 + cx^2 + dx + e
\end{equation} en la forme
\begin{equation}
\displaystyle y^2 = x^3 + ax + b
\end{equation} dite forme de Weierstrass.

Je n'y connais pas grand chose sur les courbes elliptiques et si je pose cette question c'est par simple curiosité.
J'ai cru comprendre qu'aboutir à une forme aussi simple, c'est-à-dire avec le moins de coefficients possibles, n'était possible que sur un corps $K$ de caractéristique différente de 2 et 3.

Réduit à faire une bête et méchante recherche sur internet, j'ai trouvé ça :
\begin{equation}
\displaystyle (x,y) \mapsto (\alpha^2x + \beta, \: \alpha^3y + \gamma \alpha^2x + \delta)
\end{equation} avec $\alpha, \beta, \gamma, \delta \in K$ et $u \neq 0$.
Avant de me lancer dans des calculs fastidieux à l'issue incertaine, je voulais juste savoir si la transformation en question était la bonne. Et y en a-t-il d'autres ?

En vous remerciant pour d'éventuelles suggestions.

$\textbf{Source: Prime numbers, a computational perpective. Richard Crandall, Carl Pomerance. Springer}$.
...

Math Coss · August 2018

Oui, il y a une transformation de cette forme qui aboutit à la forme de Weierstrass. Le paramètre $\alpha$ sert essentiellement à homogénéiser. Il y a des dénominateurs $2$, $3$ et $24$ dans la solution, ce qui explique la contrainte sur le corps.

Tu vas faire les calculs à la main ? Pourquoi pas avec un logiciel ? Il y en a des très bien et très libres, par exemple Sage.

claude quitté · August 2018

$\def\P{\mathbb P}$@df
Oui, MAIS quelques précisions.

1. Tu parles de transformation bilinéaire mais ce n'est pas le cas.

2. Il y a 3 formes de Weierstrass : la longue, la courte, la très courte. La longue est
$$
y^2 + a_1xy + a_3 y =x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6
$$
J'utilise les notations qui sont désormais celles de tout le monde : $x$ est de poids $2$, $y$ de poids $3$ et l'indexation $a_i$ pour indiquer que $a_i$ est de poids $i$, de manière à ce que chaque terme soit de poids 6. La forme courte, en caractéristique $\ne 2$, c'est celle pour laquelle le membre gauche est réduit à $y^2$. Et enfin la très courte est, en caractéristique $\ne 2, 3$, celle de la forme $y^2 = x^3 + ax + b$ (pas de terme en $x^2$).

Cf la copie d'écran attachée. Notions trés importantes de $b$-coefficients et $c$-coefficients, définis en toute caractéristique.

3. Ne pas chercher la transformation comme un bourrin (par identification par exemple). Faire dans l'annulation progressive. C'est très bien expliqué dans les premières pages du chapitre III de Silverman (The Arithmetic of Elliptic Curves) ou bien dans le Elliptic Curve Handbook de Connel in http://webs.ucm.es/BUCM/mat/doc8354.pdf, flemme de localiser. Je peux attacher les 7 pages concernées de Silverman au format pdf.

4. Effectivement, les changements de variables dits admissibles (sous-entendu qui conservent les formes de Weierstrass longues) sont de la forme :
$$
\pmatrix {x \cr y\cr } = \pmatrix {u^2 & 0\cr u^2s & u^3} \pmatrix {x' \cr y'} + \pmatrix {r \cr t} \qquad \hbox {avec $u$ inversible dans l'anneau de base}
$$

5. Pour une cubique homogène de Weierstrass $F$, le point $p_0 = (0 : 1 : 0)$ a des propriétés spéciales : c'est un point lisse et d'infexion de $\{F = 0\} \subset \P^2$ et la tangente en ce point est la droite projective $Z = 0$ i.e. la ``normale'' en $p_0$ est le vecteur à gauche ci-dessous
$$
\pmatrix {0\cr 0\cr 1} \qquad \hbox {ou encore $F'_X(p_0) = F'_Y(p_0) = 0$ (et $F'_Z(p_0) \ne 0$, lissité en $p_0$ oblige)}
$$ 79644

df · August 2018

@Math Coss et @Claude Quitté: merci beaucoup ! J'aimerais bien avoir du répondant mais pour l'instant cela m'est impossible.
Je vais commencer par télécharger l'ouvrage de Silverman...
Cordialement
df