Nombres premier -3 = somme des différences.
dans Arithmétique
Bonjour,
J'ai remarqué que la suite :
- Nombres premiers moins 3 (0, 2, 4, 8, 10, 14, 16, 20...)
Donne la même suite que la somme des différences entre les nombres premiers successifs :
3-2=0
5-3=2
7-5=2
11-7=4
13-11=2
la somme donne donc 0, 2, 4, 8, 10... et correspond à première suite.
Je n'arrive pas à comprendre la corrélation entre ces deux suites, est-ce que vous avez une explication ?
Je vous remercie.
J'ai remarqué que la suite :
- Nombres premiers moins 3 (0, 2, 4, 8, 10, 14, 16, 20...)
Donne la même suite que la somme des différences entre les nombres premiers successifs :
3-2=0
5-3=2
7-5=2
11-7=4
13-11=2
la somme donne donc 0, 2, 4, 8, 10... et correspond à première suite.
Je n'arrive pas à comprendre la corrélation entre ces deux suites, est-ce que vous avez une explication ?
Je vous remercie.
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Réponses
Bon et si on somme les différences successives entre nombres premiers on trouve simplement par télescopage $p-2$, où $p$ est le dernier premier considéré :
En notant $p_n$ le $n$-ième nombre premier, $(p_2-p_1) + (p_3-p_2) + \dots + (p_{n+1}-p_n) = p_{n+1} - p_1 = p_{n+1} - 2$. Tu es juste un peu décalé (de $1$ à cause de ton $3-2=0$ :-D ) dans ta suite ;-)
\text{différence}&&\text{sommes partielles}\\
{\color{purple}{3-2}}=1&\quad&\\
{\color{blue}{5-3}}=2&&{\color{blue}{5-3}}+{\color{purple}{3-2}}=5-2\\
{\color{teal}{7-5}}=2&&{\color{teal}{7-5}}+{\color{blue}{5-3}}+{\color{purple}{3-2}}=7-2\\
{\color{green}{11-7}}=4&&{\color{green}{11-7}}+{\color{teal}{7-5}}+{\color{blue}{5-3}}+{\color{purple}{3-2}}=11-2\\
{\color{olive}{13-11}}=2&&{\color{olive}{13-11}}+{\color{green}{11-7}}+{\color{teal}{7-5}}+{\color{blue}{5-3}}+{\color{purple}{3-2}}=13-2\\
{\color{lime}{17-13}}=4&&{\color{lime}{17-13}}+{\color{olive}{13-11}}+{\color{green}{11-7}}+{\color{teal}{7-5}}+{\color{blue}{5-3}}+{\color{purple}{3-2}}=17-2\\
\text{etc.}\end{array}\]
Ok, merci pour la clarté de vos réponses.
Si ${\displaystyle p_{n}}$ est le n-ième entier premier, le n-ième écart est : ${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}}$ soit : ${\displaystyle p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}}$ . On a ${\displaystyle g_{n}<p_{n}}$ et ${\displaystyle g_{n}}$ devient de l'ordre de ${\displaystyle \log(n)}$
@fredrick a fait une étourderie, mais je me demande est-ce que ce qu'il insinue est vrai, s'il enlève le nombre premier pair $2$ et commence sa liste à partir de $2$ ?
Puisqu'on y est, quelle est la limite superieure de $\frac{p_{n+1}-p_n}{\log(n)}$?