Montrer que $\binom{2p}{p}\equiv 2[p^3]$

Nounouvch · September 2018

$p$ premier supérieur ou égal à $5.$
Salut, est-ce que je dois commencer par une division euclidienne ? Vu que c'est la première chose qui me vient..

Nounouvch · September 2018

$p^{3} divise \binom{2p}{p}-2$ et essayer de factoriser par $p^{3}$?

noix de totos · September 2018

Regarde le théorème de Wolstenholme : https://arxiv.org/pdf/1111.3057.pdf

Nounouvch · September 2018

Merci

Fin de partie · September 2018

J'ai l'impression qu'on peut généraliser le résultat du premier message à:

Soit $p$ un nombre premier.

Pour tout $1 \leq m\leq p-1$

$\displaystyle \binom{mp}{p}\equiv m \mod{p^3}$

jandri · September 2018

Oui mais il faut supposer $p\geq5$ (premier).

On peut même généraliser à tout couple $(a,b)$ d'entiers naturels: $\displaystyle \binom{ap}{bp}\equiv \binom{a}{b} \mod{p^3}$

noix de totos · September 2018

Pour des extensions, voir : https://arxiv.org/pdf/1111.3057.pdf

Fin de partie · September 2018

J'ai lu le pdf après avoir pensé à ce que j'ai écrit et après coup je n'ai pas réalisé que $\binom{m}{1}=m$

Fin de partie · September 2018

C'est peut-être plus simple de démontrer la propriété :

$\binom{2p-1}{p}\equiv 1 \mod{p^3}$ avec $p$ premier supérieur ou égal à $5$.

Elle est bien équivalente à la propriété initiale.

On a:

$\binom{2p-1}{p}+\binom{2p-1}{p-1}=\binom{2p}{p}$ or, $\binom{2p-1}{p}=\binom{2p-1}{p-1}$ donc:

$\binom{2p}{p}=2\binom{2p-1}{p}$