Montrer que $\binom{2p}{p}\equiv 2[p^3]$
dans Arithmétique
$p$ premier supérieur ou égal à $5.$
Salut, est-ce que je dois commencer par une division euclidienne ? Vu que c'est la première chose qui me vient..
Salut, est-ce que je dois commencer par une division euclidienne ? Vu que c'est la première chose qui me vient..
Réponses
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$p^{3} divise \binom{2p}{p}-2$ et essayer de factoriser par $p^{3}$?
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Regarde le théorème de Wolstenholme : https://arxiv.org/pdf/1111.3057.pdf
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Merci
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J'ai l'impression qu'on peut généraliser le résultat du premier message à:
Soit $p$ un nombre premier.
Pour tout $1 \leq m\leq p-1$
$\displaystyle \binom{mp}{p}\equiv m \mod{p^3}$ -
Oui mais il faut supposer $p\geq5$ (premier).
On peut même généraliser à tout couple $(a,b)$ d'entiers naturels: $\displaystyle \binom{ap}{bp}\equiv \binom{a}{b} \mod{p^3}$ -
Pour des extensions, voir : https://arxiv.org/pdf/1111.3057.pdf
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J'ai lu le pdf après avoir pensé à ce que j'ai écrit et après coup je n'ai pas réalisé que $\binom{m}{1}=m$
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C'est peut-être plus simple de démontrer la propriété :
$\binom{2p-1}{p}\equiv 1 \mod{p^3}$ avec $p$ premier supérieur ou égal à $5$.
Elle est bien équivalente à la propriété initiale.
On a:
$\binom{2p-1}{p}+\binom{2p-1}{p-1}=\binom{2p}{p}$ or, $\binom{2p-1}{p}=\binom{2p-1}{p-1}$ donc:
$\binom{2p}{p}=2\binom{2p-1}{p}$ -
Bonjour,
J'aimerais simplement savoir comment on lit à haute voix le titre de ce fil.
Merci. -
"$p$ parmi $2p$ est crongru congru à $2$ modulo $p^3$."
Edit : merci à Cidrolin pour la coquille. -
Merci, noix de totos.
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De rien !
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Bonjour!
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