"Racines" de l'unité

Light*
Light*
dans Arithmétique
Bonjour à toutes et à tous,

Je voulais avoir votre confirmation (et plus) sur les différentes solutions de l'équation $x^a=1$ lorsque $a$ est un nombre :
- entier : il y a $a$ solutions, $x=e^{\frac{2i\pi k}{a}}$ avec $0\leq k \leq a-1$;

- rationnel (non entier) : si $a=\frac{p}{q}$, $pgcd(p,q)=1$, alors $x^a=1 \Rightarrow x^p=1$ donc on revient au premier cas : $p$ solutions;

-réel (irrationnel) : une infinité de solution $x=e^{\frac{2i\pi k}{a}}$, $k \in \mathbb{Z}$;

-imaginaire (non réel) : ?

Merci !

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Rien ne t'empêche d'écrire $\exp(\frac{2ik\pi}{a})$ quand $a$ est un nombre complexe non nul ! Reste à comprendre ce que veut dire mettre un nombre complexe à la puissance $a$...
  • ev
    ev
    Light* a écrit:
    lorsque $a$ est un nombre : entier : il y a $a$ solutions, $x=e^{\frac{2i\pi k}{a}}$ avec $0\leq k \leq a$

    Quand je compte sur mes gros doigts, je trouve \( a+1 \) valeurs de \( k \), sachant qu'il y a un piquet de plus que d'intervalles...

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • Light*
    Light*
    Correction effectuée.

    @Poirot : Si $a=i$ par exemple, $e^{\frac{2i\pi k}{a}} \neq 1$ ... non? ^^'
  • Poirot
    Poirot
    Je ne dis pas que $\exp(\frac{2i \pi k}{a})=1$, mais que c'est un bon candidat à $x^a=1$. Il reste à définir $x^i$ quand $x$ est un nombre complexe...
  • Light*
    Light*
    Oui je vois.

    Allez je me lance : si $x=re^{i\theta}$ avec $r>0$ et $\theta \in \mathbb{R}$, on a :
    $$ x^i=r^ie^{-\theta}=e^{-\theta+iln(r)} ~?$$
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour Light.

    Comme $\theta$ est défini à 2 pi près, il y a une infinité de modules pour $x^i$ ?

    Cordialement.
  • Math Coss
    Math Coss
    Eh bien oui !

    On veut définir les puissances à partir du logarithme via $z^\mathrm{i}=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\log z}$. Mais que signifie $\log z$ ?

    Par définition, on dit que $w$ est un logarithme de $z$ si $z=\mathrm{e}^z$. Pour un nombre complexe $z$ non nul de module quelconque, on vérifie que $a+\mathrm{i}b$ est un logarithme de $z$ SSI $a=\ln|z|$ et $b$ est un argument de $z$. Comme il y a une infinité d'arguments, il y a une infinité de logarithmes et donc en général une infinité de puissances.

    Pour lever cette indétermination, il y a deux attitudes possibles :
    • soit on se limite à une partie de $\C^*$ et on choisit une des valeurs possibles pour l'argument, ce qui détermine un logarithme. Par exemple, on se limite à $\C\setminus\R^-$ et on définit l'argument principal, celui qui appartient à $\left]-\pi,\pi\right[$ ;
    • soit on décrète que le logarithme d'un nombre complexe et que la puissance $\mathrm{i}$-ème (ou $a$-ième, pour un complexe $a$ quelconque) n'est pas un nombre complexe mais un ensemble (en général infini) de nombre complexes.
    La première attitude est essentiellement celle que l'on adopte dans $\R^+$ en décidant que la racine carrée est celle qui est positive. Quand on manipule des racines carrées pour calculer des distances, ce choix est plus commode mais c'est un argument « social », pas mathématique. On pourrait très bien développer les mêmes mathématiques avec la convention que $\sqrt{x}$ est le réel négatif ou nul dont le carré vaut $x$.
  • Light*
    Light*
    Merci Math Coss pour ces informations !

    Allons-y au fur et à mesure en commençant par $x \in \mathbb{R}$. Est-il possible que pour $a \in \mathbb{C}$ fixé, l'équation $x^a=1$ possède des solutions?

    Par exemple, pour $a=i$, il y a une infinité de solutions : $x=e^{2k\pi}$. Pour le reste... je ne vois pas encore bien la chose!
  • gerard0
    gerard0
    Et pour a=1+i ?
  • Light*
    Light*
    J'essaye de généraliser :

    - pour $x>0$, $x^i=e^{iln(r)} $ donc on se retrouve sur le cercle unité; ainsi si $Re(a) \neq 0$, l'équation $x^a=1$ n'a pas de solutions positives (autre que $x=1$) car il faudrait que $x^{Re(a)}=1$. Si $Re(a)=0$, on a une infinité de solutions vues plus haut.

    - pour $x<0$, $x^i=...$ aucune idée !
  • Light*
    Light*
    Continuons : pour $x<0$, on a $x=e^{i\pi+\ln(-x)}$ donc $x^i=e^{-\pi}e^{i\ln(-x)}$ ce qui donne zéro solution à notre équation. Donc si $x$ est réel, il y a soit une infinité de solutions, soit aucune.

    Avant de rentrer dans le cas général, avez-vous un nombre complexe $a$ non réel pour lequel l'équation $x^a=1$ aurait un nombre fini de solution ? Si j'ai bien compris Math Coss il n'en existe pas, mais je veux vérifier si j'ai bien compris :)

    Merci !
  • gerard0
    gerard0
    Pourquoi $i\pi$ et pas $-i\pi$ ou $3i\pi$ ?
  • Light*
    Light*
    Parce que j'ai en tête l'équation $e^{i\pi}+1=0$ ! Mais bien sûr, on peut choisir n'importe lequel de ces nombres. Dans tous les cas, le module ne sera jamais $1$ donc lorsque $x<0$, il n'y a aucune solution.

    En fait, si lorsque $a$ est un complexe, il y a soit une infinité de solutions, soit aucune, vous avez répondu à ma question :)

    A ce propos, j'aurais une petite dernière question pour être sûr : peut-on mettre - une bonne fois pour toute - une relation d'équivalence sur les angles ( du style $\alpha ~R ~\beta$ si $2\pi$ divise $\alpha-\beta$) de telle manière que l'on ait pas à se soucier de quel angle on choisit?
  • Poirot
    Poirot
    Oui, ça s'appelle prendre la mesure principale d'un angle, en général dans $[0, 2\pi[$. C'est exactement le même problème que pour définir une valeur principale de l'argument ou du logarithme.
  • Light*
    Light*
    Oui mais comme le suggérait Math Coss (si j'ai bien compris hein ^^) ce choix est arbitraire et n'a pas de "valeurs mathématiques". Par exemple, même si je prend ma relation R ci-dessus, on pourra toujours écrire $-1=e^{i\pi}=e^{i3\pi}$... donc on sera toujours embêté non?
  • Poirot
    Poirot
    Embêté pour quoi ?
  • Light*
    Light*
    Pour mettre $-1$ à la puissance $i$ !
  • gerard0
    gerard0
    Light*,

    tu perds ton temps ... Il n'y a déjà pas de formalisme uniforme pour les puissances de réels, $a^x$ se calcule différemment suivant que a est strictement positif, nul, ou strictement négatif. Et tu voudrais des formules qui marchent pour des puissances complexes !!!

    Cordialement.
  • Poirot
    Poirot
    Comme déjà dit précédemment, on peut associer à "$(-1)^i$" une infinité de valeurs cohérentes. Notons $\log(-1)$ n'importe quel logarithme de $-1$, c'est-à-dire n'importe quel nombre complexe tel que $\exp(\log(-1))=-1$. Il s'agit des $(2k+1)i \pi$ avec $k \in \mathbb Z$. Alors on peut poser $$(-1)^i = \mathrm{e}^{i \log(-i)}.$$ Donc $(-1)^i$ peut valoir $\mathrm{e}^{- \pi}$, mais aussi $\mathrm{e}^{\pi}$, ou encore $\mathrm{e}^{-57 \pi}$...

    La fonction logarithme de $z$, et donc la fonction puissance en base $z$, ne peuvent pas être définies de manière continu sur $\mathbb C^*$ tout au plus peut-on le faire sur $\mathbb C^*$ privé d'une demi-droite par exemple. C'est suffisant en pratique.
  • Light*
    Light*
    Mais du coup, si j'ai bien compris encore une fois, le choix de cette droite est arbitraire n'est-ce pas?
  • Poirot
    Poirot
    Oui !
  • Light*
    Light*
    Merci de votre patience :)

    Pour résumer :
    -$a$ entier ou rationnel non nul : nombre fini de solution;
    -$a$ réel : infinité de solutions;
    -$a$ imaginaire : infinité ou absence de solutions.

    Donc le passage de rationnel à réel casse la finitude ! Merci !
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