Définition du pgcd

Je ne comprends pas mieux la question de geo qu'YvesM mais je risque une réponse...

Définir le pgcd pour des entiers relatifs au lieu d'entiers naturels, et surtout si on le fait en termes d'idéaux, c'est un progrès conceptuel : cela englobe une théorie arithmétique limitée aux entiers dans une théorie plus vaste, celle des anneaux, dans laquelle les outils disponibles (idéaux, somme d'idéaux, etc.) ont une portée plus large. On n'a donc pas du tout envie de revenir en arrière pour se restreindre aux entiers. De même pour la division euclidienne, qui est le fondement de l'arithmétique dans $\Z$.

Cependant, en pratique, pour calculer le PGCD de deux entiers relatifs, on peut les remplacer par leurs valeurs absolue.

Oui, puisque les diviseurs positifs de $a$ et de $-a$ sont les mêmes !