Nombre de solutions de $ax^p+by=n$
dans Arithmétique
Bonsoir,
Je vous propose de déterminer le nombre exact de couples entiers solutions de l'équation :
$$ax^p+by=n$$
où $a,p,b$ et $n$ sont des entiers positifs.
Al-Kashi
Je vous propose de déterminer le nombre exact de couples entiers solutions de l'équation :
$$ax^p+by=n$$
où $a,p,b$ et $n$ sont des entiers positifs.
Al-Kashi
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Réponses
On peut sans perte de généralité supposer $a \wedge b = 1$.
1er cas : $p$ premier.
On peut réduire modulo $p$ et on obtient $ax + by = n\;\;(1)$ dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ classiquement l'ensemble des solutions est donné par $(x_1 +bk,y_1-ak)$ où $k \in \mathbb{Z}$ et $(x_1,y_1)$ (il en existe car on en obtient en multipliant une relation de Bézout par $n$) une solution particulière de $(1)$ ces solutions sont distinctes pour $0 \leq k < p$.
2ème cas : cas général.
On écrit $p =qm$ avec $q$ premier l'équation qu'on cherche à résoudre s'écrit $a(x^m)^q+by = n$ on s'est donc ramené au cas précédent il faut maintenant dénombrer les puissances $m$-ième modulo $p$.
Je pense que tu voulais dire strictement positifs