Diviseurs du nombre de Fermat

chems · September 2018

Bonjour
$F_n =2^{2^n}+1$ est le nombre de Fermat

La quelle [de ces propositions] est vraie ?

1) les diviseurs de $F_n $ sont tous de la forme $k.2^{n+1}+1$
2) les diviseurs de $F_n $ sont tous de la forme $k.2^{n+2}+1$
Bon j'ai démontré la première (j'espère que ma preuve est juste), mais je trouve sur internet la deuxième.

rmq [Remarque ?]: si 2) est vraie alors la 1) l'est aussi.
Est-ce que les deux sont vaies ??
Merci d'avance.

Light* · September 2018

Bonjour chems,

Quand tu écris $k2^{2+1}+1$ et $k2^{2+2}+1$, tu veux écrire $8k+1$ et $16k+1$?
Si c'est le cas, alors effectivement la seconde implique la première : $16k+1=8\times 2k+1=8\times k'+1=8k'+1$.

Mais il n'y a pas de réciprocité puisque l'on peut avoir $16k+9$.

claude quitté · September 2018

Hello,
Si $p$ est un premier diviseur de $F_n$, alors $p \equiv 1 \bmod 2^{n+2}$, à l'exception de $n = 0$ (auquel cas $F_0 = 1$) et $n = 1$ (auquel cas $F_1 = 5$). Avec la conséquence que l'on imagine sur les diviseurs quelconques de $F_n$. Indication(s) si l'initiateur du fil ...etc... Note : c'est grâce à cette propriété qu'Euler à trouvé le diviseur premier $641$ de $F_5$.

chems · September 2018

Pardon, j ai rectifié les formules
1) les diviseurs de $F_n $ sont tous de la forme $k.2^{n+1}+1 $
2) les diviseurs de $ F_n $sont tous de la forme $k.2^{n+2}+1 $