Équation diophantienne
dans Arithmétique
Bonsoir
Trouver tous les entiers $k,n$ et $m $ positifs tels que:$$5^n - 3^k = m^2
$$ On peut montrer facilement que $n$ et $k$ sont pairs
Sinon quelqu'un a-t-il une piste ?
Cordialement
Trouver tous les entiers $k,n$ et $m $ positifs tels que:$$5^n - 3^k = m^2
$$ On peut montrer facilement que $n$ et $k$ sont pairs
Sinon quelqu'un a-t-il une piste ?
Cordialement
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Réponses
Cas trivial $n=k=x=0$, reste $5^n-1=x^2$, (mod $5$) $x$ pair et $x=10j+2$ donc $n=1$ et $x=2$. $5^n-1=4(\sum_{i=0}^{n-1}5^i)$
Infaisable pour moi,
Je suis d'accord pour n et k pairs, du coup tu peux écrire 5 ^ n - 3 ^ k = (5 ^ n' - 3 ^ k') * ( 5 ^ n' + 3 ^ k')
Le PGCD des 2 facteurs est 2, donc chacun des facteurs est le double d'un carré.
ça peut peut être te faire avancer.
Je pense, en étant peut-être passé à côté d'arguments plus élémentaires, avoir correctement prouvé que;
$$\boxed{\left \{(n,k,x) \in \N^3 \:| \:5^n - 3^k= x^2\right \} = \big \{(0,0,0) ; (1,0,2) ; (2,2,4)\big\}}$$
$\bullet$ J'ai d'abord envisagé le cas (le plus difficile) où $k=0$. Soit donc $(n,x) \in \N^2$ tel que $5^n = x^ 2+1 \:\:\: (\star).$
$(\star) \iff (1+2\mathrm i)^n (1-2\mathrm i)^n =(x+\mathrm i)(x-\mathrm i)$.
$1+2\mathrm i$ et $1-2\mathrm i$ sont irréductibles et non associés dans l'anneau factoriel $\Z[\mathrm i]$, donc $\exists s,t \in \N, \: \varepsilon \in \mathcal U:= \{ 1,-1, \mathrm i, -\mathrm i\}$ tels que $x+\mathrm i = \varepsilon (1+2\mathrm i)^s(1-2\mathrm i)^t.$ En examinant le module des membres de cette égalité, on obtient que $s+t=n$ et en utilisant le fait que $x+\mathrm i$ n'est pas divisible par $5$, on déduit que $s=0$ ou $t=0.$
Ainsi $x+\mathrm i = \varepsilon (1\pm 2\mathrm i)^n$, puis, en notant $x_n$ et $y_n$ les entiers définis par $x_n +y_n\mathrm i = (1+2 \mathrm i)^n$, on parvient à; $1=\pm x_n$ ou $1 =\pm y_n$.
Une récurrence facile montre que $\forall n \in \N,\: y_n$ est pair, donc le cas $y_n = \pm1$ est exclu.
Notons $A = \begin {pmatrix} 1&-2\\2&1 \end{pmatrix}, \:\: e =\begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix},\:\: \Phi: \left\{\begin{array} {ccl} \mathcal M_2 (\Z) & \longrightarrow& \Z \\ M& \longmapsto& e^t\;M\; e\\ \end{array}\right.$.
On a: $ \forall n \in \N,\:\:\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1} \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x_n\\ y_n\end{pmatrix}$ d'où $ \begin{pmatrix}x_n\\ y_n \end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix}$ et $ x_n= \Phi (A^n)$. En outre, $\Phi$ est $\Z\text{-linéaire}.$
La suite $(x_n)$ vérifie $x_0=x_1 =1$ et la relation de récurrence; $ \forall n \in \N,\:x_{n+2} = 2x_{n+1}-5 x_n$
Cette suite est constante modulo $4$; $ \forall n\in \N , \:x_n \equiv 1 \mod 4$. Ainsi le cas $x_n =-1$ est impossible, et on a par conséquent $x_n = 1$.
La suite $(x_n)$ est $4\text{-périodique} $ modulo $8$ et on voit que $x_n =1$ n'est possible que si $ n\equiv 0\:\text{ou}\: 1 \mod4.$ .
On vérifie que $A^4 = I_2 +8B\:$ où $\:B = \begin{pmatrix} -1&3\\-3&-7\end{pmatrix}$
Si $n=4p \:(p\in \N)$, alors $x_n = \Phi [(I_2 +8B)^p] = \displaystyle{\sum _{i=0} ^p \binom pi 8^i\Phi (B^{i})= 1 +8p \Big(-1 +\sum _{i=2} ^p \binom{p-1}{i-1} \dfrac{8^{i-1}}{i} \Phi (B^i)\Big)}$
Pour tout $i\geq2$, la $2\text{-valuation}$ du rationnel $\dfrac{8^{i-1}} i$ est strictement positive, donc l'égalité $x_n = 1$ n'a lieu que si $p=0$ et donc $n=0.$
Si $n =4p+1 \:(p\in \N)$, alors $x_n =\Phi[A(I_2 + 8B)^p] = \displaystyle{\sum _{i=0}^p \binom pi 8^i \Phi (AB^i) =1 +8p \Big(5 + \sum _{i=2}^p \binom {p-1}{i-1} \dfrac {8^{i-1}}i \Phi (AB^i)\Big)}$ et on conclut, comme dans le cas précédent que $p=0$ et $ n=1$.
$\bullet$ Si $k>0$, alors l'examen de la relation $5^n- 3^k = x^2$, modulo $4$, puis modulo $3$, entraine que $k$ et $n$ sont pairs. Il est alors possible de traiter ce cas en procédant comme ci-dessus, c'est à dire en utilisant le caractère factoriel de l'anneau $\Z[\mathrm i]$, mais il est beaucoup plus simple de suivre la voie indiquée par Depasse dans un message ultérieur.
Un petit éclaircissement s'il vous plaît
Puisque n et k sont pairs , si on posait n=2p et k =2q
On peut alors écrire l'équation sous la forme (5^p-m) (5^p+m) = 9^q
A votre avis les deux facteurs ne seraient-ils pas premiers entre eux? Auquel cas conclure devient facile
Cordialement
D'accord avec xilyas: à $(5^p-3^q)(5^p+3^q)=m^2$, il préfère $(5^p-m)(5^p+m)=9^q$.
D'où $m=5^p-1$ et $2\times 5^p=9^q+1$.
$p=1$ donne $q=1$ et $m=4$.
Soit $p>1$;
$25$ divise $9^q+1$; l'ordre de $9$ modulo $25$ est $10$; $25$ divise $9^q+1$ ssi $q=5$ modulo $10$, i.e. $q=5(2h+1)$.
Mézalor $9^5+1$ divise $9^q+1$, à savoir $2\times 5^p$;
Or $9^5+1= 50 \times1181$. Absurde.
Cordialement
Paul
P.S: il est clair qu'ici $q\neq 0$!